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6 ．由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法則

若函數(shù)y = y （ x ）由參數(shù)方程

所確定，且 x ＝φ（ t ）、 y ＝ψ（ t ）二階可導，φ^’（ t ）≠0，則

【例 1-2-23】求（ sinx )⁽ⁿ⁾、( cosx )⁽ⁿ⁾。

【解】 y =sinx

一般地，可得（ sinx ) ⁽ⁿ⁾ = sin

用類似方法，可得

四、微分及其應用

（一）微分概念

函數(shù) y = f（x）勸在點 x 的微分稱為函數(shù) y = f ( x ）的微分，記作 dy 或 df ( x)。

2 ．函數(shù)可微分的充分必要條件

函數(shù)y = f（x）在點 x₀ 可微分的充分必要條件是 f ( x ）在點 x₀ 可導，且當 f ( x ) 在點 x_o可導時，其微分一定是

函數(shù)的微分是

通常把稱為自變量的微分，記作 dx ，即

于是函數(shù)的微分可寫成

而導數(shù)可寫成

即導數(shù)等于函數(shù)的微分 dy 與自變量的微分 dx 之商。

（二）基本微分公式與微分法則

1 ．基本微分公式

2 ．函數(shù)和、差、積、商的微分法則

設函數(shù) u = u ( x ）、v＝ v ( x ）均可微，則

（三）微分的應用

（四）例題

【例 1-2 -29 】

［解］

五、中值定理與導數(shù)的應用

（一）中值定理

1 ．若函數(shù) f ( x ）在閉區(qū)間[ a ，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（ a , b ）內(nèi)可導，且 f ( a ) = f ( b ) ，則至少有一點ξ∈（ a， b ) ，使得 f ' (ξ）＝ 0。

2 ．拉格朗日中值定理

若函數(shù) f ( x ）在閉區(qū)間［ a ，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（ a , b ）內(nèi)可導，則至少有一點ξ∈（ a， b )，使得下式成立

（二）求未定式的值的方法 ― 羅必塔法則

1 ．未定式0/0與的情形

關于要0/0的情形：

設（ 1 )當 x → a （或 x→∞）時， f （x）→0 且 f ( x ) → 0 ,

( 2 ) 在點 a 的某去心鄰域內(nèi)（或當｜x｜> n 時） , f ' ( x ）及 f ' ( x ）都存在且f ' （x）0 ,

則

若仍屬0/0型，且 f ' ( x ）、 f ' （x）滿足上述三個條件，則可繼續(xù)運用羅必塔法則，即

（三）函數(shù)性態(tài)的判別

1 ．函數(shù)單調(diào)性的判定

利用一階導數(shù)的符號判定，如表 1-2-1 所示。

2 ．函數(shù)極值的判定

利用一階導數(shù)判定，如表 1-2-2 所示。

利用二階導數(shù)判定，如表1-2-3 所示。

3 ．曲線凹、凸及其拐點的判定

利用二階導數(shù)的符號判定曲線的凹、凸，如表 1-2- 4 所示。

連續(xù)曲線 y = f ( x ）上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點。如果 f " （x₀）=0,而 f " ( x ）在x₀的左右兩側(cè)鄰近異號，則點（x₀， f ( x_o ) ）就是一個拐點。

4 ．曲線的漸近線

若 =y₀，則曲線 y = f ( x ）有水平漸近線 y = y₀ ;

若 =,則曲線 y ＝f ( x ) 有鉛直漸近線 x = x ₀；

（四）最大值最小值問題

設 f ( x ）在閉區(qū)間 [ a , b] 上連續(xù)、除個別點外處處可導且至多在有限個點處導數(shù)為零，求 f （x）在 [ a ，b]上的最大值與最小值的一般方法：

設 f ( x ）在（ a , b ）內(nèi)的駐點及不可導點為 x₁，… , x_n，則比較

的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。

六、偏導數(shù)全微分

（一）偏導數(shù)與全微分

1 ．偏導數(shù)概念

函數(shù)z = f（ x,y ）對 x、y ,的偏導數(shù)依次記作（或 f_x（ x ,y ）），（或 f_y , （ x, y ）），它們的定義如下：

類似地，可以定義三元函數(shù) f （ x , y , z ）的偏導數(shù)f_x（x， y , z ）、f_y（ x , y ，z）、f_z（ x , y ，z）等.

按定義，偏導數(shù)的求法仍屬一元函數(shù)微分法的問題。

2 ．多元復合函數(shù)的求導法則

設u = （ x ，y）、 v ＝（ x ，y）均具有偏導數(shù)，而z＝f（u ， v ）具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù) z ＝f [ （ x ，y），（ x ，y）］的偏導數(shù)存在，且

上面這一求導法則，簡稱為 2 ×2 法則或標準法則。從這標準法則的公式結構，可得它的特征如下：

① 由于函數(shù) z = f [ （ x ，y），（ x ，y）］有兩個自變量，所以法則中包含及的兩個偏導數(shù)公式。

② 由于函數(shù)的復合結構中有兩個中間變量，所以每一偏導數(shù)公式都是兩項之和，這兩項分別含有及。

③ 每一項的構成與一元復合函數(shù)的求導法則相類似，即“因變量對

間變量的導數(shù)再乘以中間變量對自變量的導數(shù)”。

由此可見，掌握多元復合函數(shù)的求導法則的關鍵是弄清函數(shù)的復合結構，哪些是中間變量，哪些是自變量。為直觀地顯示變量之間的復合結構，可用結構圖（或稱樹形圖） 1-2 -1 來表示出因變量 z 經(jīng)過中間變量u 、 v 再通向自變量 x 、 y 的各條途徑。

按照上述標準法則的三個特征，我們可以將多元復合函數(shù)的求導法則推廣。

如，特別當有一個自變量，u ＝（x ） , v ＝（ x ） , z = f （ u , v ）時，由于函數(shù) z = f ［（x ），），（ x ）］只有一個自變量，偏導數(shù)變成導數(shù)（這時稱為全導數(shù)）；函數(shù)復合結構中有兩個中間變量，所以全導數(shù)公式中是兩項之和；每項構成與一元復合函數(shù)求導法則類似。于是，有全導數(shù)公式

又如， u ＝（x ，y）， v ＝（y）， z = f （ u , v ），復合函數(shù) z =f ［（x ，y）, （ y）］的結構圖如圖 1-2 - 2 所示。類似地依以上分析，則有

3 ．隱函數(shù)求導法則

設方程 f （ x , y , z ） = 0 確定一個隱函數(shù) z = f （ x ，y），函數(shù) f （ x , y , z ）具有連續(xù)偏導數(shù)且f_z ≠0 ，則有

4 ．高階偏導數(shù)

二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱高階偏導數(shù)，如 z = f （x ,y）的二階偏導數(shù)按求導次序不同有下列四個：

5 ．全微分概念

若函數(shù) z = f （ x ，y）的全增量

其中 a 、 b 僅與x， y 有關，而，則稱函數(shù)z＝ f （ x ，y）在點（ x ，y）可微分，并稱為函數(shù) z = f（x, y）的全微分，記作 dz ，即

函數(shù)可微分的充分條件是函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)。

習慣上，記,故

（二）多元函數(shù)連續(xù)、可（偏）導、可微分的關系

對于一元函數(shù)來說，函數(shù)可導必定連續(xù)，而可導與可微分兩者是等價的。但對于多元函數(shù)來說，可（偏）導（即存在偏導數(shù)）與連續(xù)沒有必然的聯(lián)系，可（偏）導與可微分也并不等價。多元函數(shù)可微分必定可（偏）導，但反之不真。當偏導數(shù)存在且連續(xù)時，函數(shù)必定可微分。

上述多元函數(shù)連續(xù)、可（偏）導與可微分的關系，可用圖 1-2-3 表示如下：