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二、反常積分

 （一）兩類反常積分的定義

1 ．無窮限的反常積分

若極限

存在，則稱此極限為 f ( x ）在「 a ，＋ 〕 上的反常積分，記作f(x)dx, 即

這時，稱反常積分f（x） dx 收斂；若上述極限不存在，則稱反常積分f（x） dx 不存在或發(fā)散。

類似地定義反常積分

當且僅當反常積分

都收斂時，定義反常積分

2 ．無界函數(shù)的反常積分

若 f ( x ）在（ a ，b）上連續(xù)，而在點 a 的右鄰域內(nèi)無界，極限

存在，則稱此極限為f（ x ）在（ a ，b）上的反常積分，記作f（x） dx ，即

這時，稱反常積分f（x）dx 收斂 ·

若 f ( x ）在 【 a , b ）上連續(xù)，而在點 b 的左鄰域內(nèi)無界，類似地定義反常積分

 

（二）例題

1. 計算

于是

2.

【 解 】 因為

所以所求積分屬無界函數(shù)的反常積分。按定義

 

 

三、重積分

（一）重積分的概念與性質(zhì)

 1 ．二重積分的概念與性質(zhì)

設f（ x ，y）在平面有界閉區(qū)域 d 上有界，將閉區(qū)域 d 任意劃分成n個小閉區(qū)域：

任取點（_i，，） ( i = l , 2 ， … ，n）。記小區(qū)域的直徑為 d _i，＝ max { d ₁ , d₂ ，…， d _n ｝。

若極限

總存在，則稱此極限為函數(shù) f （x，y ）在有界閉區(qū)域 d 上的二重積分，記成f( x, y)d,即

當 f ( x , y )  0 , ( x , y ）  d 時，二重積分f( x, y)d在幾何上表示以曲面

z=f ( x ,y）為頂、閉區(qū)域 d 為底的曲頂柱體的體積。

二重積分具有如下性質(zhì)：

其中且無內(nèi)點

其中σ為 d 的面積

( 5 ）若在 d 上， f (x，y) ≤ g(x, y)，則

( 7 ）設 m 、m，分別是 f （x，y）在 d 上的最大、最小值， σ是 d 的面積，則

( 8 ）設 f （x，y）在閉區(qū)域 d 上連續(xù)，σ是 d 的面積，則存在點（ξ , η）∈d，使得

2 ．三重積分的概念與性質(zhì)

設 f ( x , y ，z）在空間有界閉區(qū)域ω上有界，與二重積分的定義類似地有f（x， y , z ）在ω上的三重積分的定義，即

若 f （x， y , z ）表示某物體在點f ( x , y , z ）處的密度，ω表示該物體占有的空間閉區(qū)域，則三重積分就表示該物體的質(zhì)量 m .

三重積分具有與二重積分類似的性質(zhì)。

（二）重積分的計算法

1 ．二重積分的計算法

( 1 ）利用直角坐標

在直角坐標下，二重積分也表成

若積分區(qū)域 d （圖 1-3-1 ）可表成

則二重積分可化成先對y后對x的二次積分，即

或記成

若積分區(qū)域 d （圖 1-3-2 ）可表成

則二重積分可化成先對x、后對 y 的二次積分，即

我們稱圖 1-3-1 所示的區(qū)域為 x-型區(qū)域，圖1-3-2 所示的區(qū)域為 y-型區(qū)域。如果積分區(qū)域既是 x-型的，也是 y-型的，則二重積分可表成兩個不同次序的二次積分，于是有

( 2 ）利用極坐標

直角坐標和極坐標的關系是

積分的變換公式是

若積分區(qū)域 d （圖1-3-3 ）可表成

則二重積分可化成先對ρ、后對θ的二次積分，即