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三、傅立葉級(jí)數(shù)

（一）傅立葉級(jí)數(shù)概念

1 ．傅立葉系數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)

設(shè) f （ x ）是周期為 2π 的周期函數(shù)，則下面公式中出現(xiàn)的積分

都存在，則系數(shù) a₀，a₁, ,b_l… 叫做函數(shù) f （ x ）的傅立葉系數(shù)，級(jí)數(shù)

叫做函數(shù) f （ x ）的傅立葉級(jí)數(shù)。

2 ．狄利克雷收斂定理

設(shè) f （ x ）是周期為 2 π的周期函數(shù)，如果它滿足條件：

（ 1 ）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)，或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

（ 2 ）在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則 f （ x ）的傅立葉級(jí)數(shù)收斂，且當(dāng) x 是f （ x ）的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f（ x ） ；當(dāng) x 是f（ x ）的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于

（二）正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

1 ．正弦級(jí)數(shù)

若 f （ x ）是周期為 2 π的奇函數(shù)，則它的傅立葉系數(shù)為

它的傅立葉級(jí)數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)

2 ．余弦級(jí)數(shù)

若 f （ x ）是周期為 2 π的偶函數(shù)，則它的傅立葉系數(shù)為

它的傅立葉級(jí)數(shù)是只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù)

（三）周期為 2l 的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)

設(shè) f （ x ）是周期為2l的周期函數(shù)，則它的傅立葉系數(shù)為

而它的傅立葉級(jí)數(shù)為

（四）例題

【 例 1 - 4 – 14 】 設(shè)f（ x ）是周期為 2 π的周期函數(shù)，它在  [-π，π），上的表達(dá)式為

問 f （ x ）的傅立葉級(jí)數(shù)在 x ＝-π處收斂于何值。

【 解】所給函數(shù)滿足狄利克雷收斂定理的條件，x ＝-π是函數(shù)的間斷點(diǎn)，按收斂定理它的傅立葉級(jí)數(shù)在 x ＝-π處收斂于

 

【 例1- 4 – 15】 將函數(shù)

展開成傅立葉級(jí)數(shù)。

【 解 】 將函數(shù)在外作周期延拓，注意到 f （ x ）是偶函數(shù)，故

由于 f 在區(qū)間[-π，π]滿足收斂定理的條件，在 [-π，π]上連續(xù)，且 f （π）= f -（π），因此在區(qū)間[-π，π]上，有