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第六節(jié)   線性代數(shù)

 

一、n 階行列式

（一）n階行列式的定義

設(shè)有n²個(gè)數(shù)a_ij（ i = 1 , 2 ， … ，n ；j＝ 1 , 2 ,… ，n），記號(hào)

稱(chēng)為n階行列式。行列式（ 1-8-1 ）也簡(jiǎn)記作 d_n或△（a_ij）

m_ij稱(chēng)為 d_n的對(duì)應(yīng)于元素 a_ij 的余子式。令

a_ij稱(chēng)為 d_n的對(duì)應(yīng)于元素 a_ij 的代數(shù)余子式。

每個(gè)n階行列式都對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)稱(chēng)為該行列式的值。

記號(hào)（ 1-8-1 ）既表示行列式，又表示行列式的值。

行列式的值用數(shù)學(xué)歸納法定義為

按此定義．即有

1 階行列式

2 階行列式

3 階行列式

計(jì)算 2 階和 3 階行列式的值時(shí)，有“對(duì)角線法則” :

2 階行列式時(shí)，

即把 a₁₁ 一 a ₂₂的連線稱(chēng)主對(duì)角線， a₁₂ 一 a₂₁ 的連線稱(chēng)次對(duì)角線。主對(duì)角線上各元素的乘積冠， “ + ”號(hào)，次對(duì)角線上各元素的乘積冠“一”號(hào)，然后作代數(shù)和，所得結(jié)果即為 2 階行列式的值。

3 階行列式時(shí)，

主對(duì)角線上各元素的乘積冠， “ + ”號(hào)，次對(duì)角線上各元素的乘積冠“一”號(hào)，然后作代數(shù)和，所得結(jié)果即為3階行列式的值。

（二）行列式的性質(zhì)

2 ．互換行列式中的兩行（列），則行列式的值變號(hào)。

3 ．行列式中如果有兩行（列）的元素相同，則行列式的值為 0。

4 ．以數(shù) k 乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于 k 乘這個(gè)行列式。

5 . 行列式中如果有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式的值為 0。

6 ．如果行列式中某行（列）的元素都表為兩數(shù)之和，例如第 k 行的元素都是兩數(shù)之和：

則 d 等于下列兩個(gè)行列式之和：

7 ．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變。例如以數(shù) k 乘第 i 行加到第 j 行上，有

8 ．行列式中任一行（列）的元素與它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值。

式（ 1-82 ）稱(chēng)為行列式按第 i 行展開(kāi)公式和按第 j 列展開(kāi)公式。

9 ．行列式中任一行（列）的元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0。即

 

（三）計(jì)算 2 階和 3 階行列式的值常用對(duì)角線法則，計(jì)算 n 階（n≥4 ）行列式的值常用下述兩種方法：

1 ．應(yīng)用性質(zhì) 7 ，把主對(duì)角線以下的元素全化為 0 ，成為上三角行列式

它的值等于 b₁₁b₂₂···b_nn

2 ．選定一行（列），把該行（列）除一個(gè)非零元素外其余，n-1 個(gè)元素全化為0，然后按這一行（列）展開(kāi)[公式（1-8-2）]，就把行列式降為n-1階行列式。

（四）例題

 

二、矩陣

（一）矩陣概念

由 m×n個(gè)數(shù)排成 m 行，n列的數(shù)表

稱(chēng)為m×n矩陣，數(shù)a_ij稱(chēng)為矩陣 a 的第 i 行第j列元素

當(dāng) m = n時(shí)， a 稱(chēng)為 n 階方陣；當(dāng)m＝ 1 時(shí)， a 稱(chēng)為行矩陣；當(dāng)n = 1 時(shí)， a 稱(chēng)為列矩陣。

元素全為0的矩陣稱(chēng)零矩陣，記作 o 。注意不同型的零矩陣是不相等的。

 

（二）矩陣的運(yùn)算

1 ．矩陣的加法設(shè) a = ( a_ij ）與 b = ( b _ij ）是同型矩陣，矩陣 a 與 b 的和記作 a + b ，規(guī)定

矩陣相加滿(mǎn)足：

2 ．?dāng)?shù)乘矩陣

數(shù)乘矩陣滿(mǎn)足：

矩陣相加及數(shù)乘矩陣合起來(lái)，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算。

矩陣相乘不滿(mǎn)足交換律，即一般ab≠ba。還要注意兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣。例如

主對(duì)角線上的元素都是 1 ，其他元素都是 0 的方陣稱(chēng)為單位陣，記作 e，階單位陣也記作 e_n。單位陣滿(mǎn)足：

4 ．方陣的冪設(shè) a 為，，階方陣，規(guī)定

方陣的冪滿(mǎn)足：

矩陣的轉(zhuǎn)置滿(mǎn)足： ( a^t ) ^t = a ; ( a + b ) ^t = a^t + b^t ; （λa） ^t=λa ^t ; （ab）t = b^ta^t 。

若方陣 a = ( a _ij ）滿(mǎn)足 (a^t ) = a ，則稱(chēng) a 為對(duì)稱(chēng)陣。對(duì)稱(chēng)陣的元素按主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)相等。即 a_ij ＝a_ji。

6 ．方陣的行列式由 n 階方陣 a 的元素所構(gòu)成的 n 階行列式叫做方陣 a 的行列式

記作| a|或 deta 。

|a|=0 時(shí)稱(chēng) a 為奇異（方）陣，|a|≠0 時(shí)稱(chēng) a 為非奇異（方）陣。注意長(zhǎng)方陣沒(méi)有行列式。