（三）向量組的秩
定義設有向量組 a ( a 可以含有限個向量，也可以含無限多個向量），如果在 a 中能選出
r 個向量 α1, α2，
… ，αr，滿足
( i ) α1, α2， … ，αr線性無關(guān)；
( ii ) a 中任意 r 十 1 個向量都線性相關(guān)。
則向量組α1, α2，
… ，αr稱為向量組 a 的最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組），數(shù) r 稱為向量組
a 的秩。只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為 0。
按此定義可知：向量組
a 線性相關(guān)的充分必要條件是 a 的秩小于
a 所含向量的個數(shù)；線性無關(guān)的充分必要條件是 a 的秩等于
a 所含向量的個數(shù)。
定義設有兩個向量組 a 與 b ，如果 a 中每個向量都能由向量組 b 線性表示，則稱向量組 a 能由向量組 b 線性表示。如果向量組 a 與 b 能相互線性表示，則稱向量組 a 與 b 等價。
顯然，一個向量組與它自己的最大無關(guān)組等價。
定理 若向量組 a 能由向量組
b 線性表示，則向量組 a 的秩不大于向量組 b 的秩。若向量組 a 與 b 等價，則它們的秩相等。
注意向量組等價與矩陣等價是兩個不同的概念，不要混淆。
定理 若矩陣 a 經(jīng)行變換變?yōu)榫仃?/span> b ，則 a 的行向量組與召的行向量組等價；若矩陣 a 經(jīng)列變換變?yōu)?/span> b ，則 a 與 b 的列向量組等價；矩陣 a 的行向量組的秩以及列向量組的秩都等于矩陣 a 的秩。
由上述兩定理可推知
( i ）設 n 個 n 維向量構(gòu)成方陣 a ，則此n個向量線性相關(guān)的充分必要條件是| a | =0。
( ii ）設 dr 是矩陣 a 的最高階非零子式，則 dr 所對應的 r 個行向量即是 a 的行向量組的最大無關(guān)組， dr 所對應的r個列向量即是 a 的列向量組的最大無關(guān)組。
( iii ）設 c ＝ab，則r（ c ）≤ r ( a ) , r ( c ) ≤（ b ）。當b可逆時， r ( c ) = r ( a ) ，當 a 可逆時， r ( c ) = r ( b ）。