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勘察設(shè)計(jì)注冊工程師考試—數(shù)學(xué)點(diǎn)題

1．若，則為（  ）

(a)0   (b)6   (c)36   (d)∞

 

【詳解】==0

      =-=-=36

因此本題選（c）

２．設(shè)f(x)，g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且<0，則當(dāng)a<x<b時(shí)，有（  ）

(a)f(x)g(b)>f(b)g(x)                  (b)f(x)g(a)>f(a)g(x)

(c)f(x)g(x)>f(b)g(b)                  (d)f(x)g(x)>f(a)g(a)

 

【詳解】<0<0

在（a,b）單調(diào)減少>

即f(x)g(b)>f(b)g(x)   (a<x<b)

因此本題選（a）

3．當(dāng)x→0⁺時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是（  ）

（a）     （b）      （c）     （d）

【分析】利用常用等價(jià)無窮小量排除其中三個(gè)不正確的選項(xiàng)即可。

【詳解】由于x→0⁺時(shí)，

 ，，，

所以選項(xiàng)a、c、d都不能選。

因此本題選ｂ。

【評注】

（?。┮韵率牵皶r(shí)的常用等價(jià)無窮小量：

，，，，，

，，．

（ⅱ）當(dāng)ｘ→０^＋時(shí)，確是的等價(jià)無窮小量，證明如下：

因?yàn)?/span>，

所以。

4．m=，n=，p=，則有（  ）

(a)n<p<m      (b)m<p<n      (c)n<m<p      (d)p<m<n

 

【詳解】由對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)積分的性質(zhì)知：

m=0，n=>0，p=<0

p<m<n.

因此本題選（d）

5．曲線漸近線的條數(shù)為（  ）

（a）0              （b）1              （c）2              （d）3

【分析】利用漸近線的定義進(jìn)行分析，但要意識到，。

【詳解】因

可見y=0是曲線的一條水平漸近線。又x=0是該函數(shù)的間斷點(diǎn)，且

，

可見x=0是曲線的一條鉛直漸近線。又因

，

===0，

可見y=x是曲線的一條斜漸近線，故應(yīng)選（d）。

6．設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對應(yīng)的增量與微分，若，則（  ）

(a)  .                       (b)  .

(c)  .                       (d) 

【分析】畫概圖，利用與的幾何意義可得到正確的選項(xiàng)。

【詳解】由>0,>0可得y=f(x)的概圖如右圖所示，其中mt是曲線y=f(x)在點(diǎn)m（, ）的切線，于是當(dāng)>0時(shí)，=,=.

由圖可知，。

因此本題選（a）

【評注】本題是利用與的幾何解釋獲解的。利用幾何直觀是解選擇題方法之一。

7．設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是（  ）

（a）若存在，則f(0)=0      (b)若存在，則f(0)=0

（c）若存在，則f^‘(0)存在   (d)若存在，則f^‘(0)存在

【分析】逐一檢驗(yàn)各個(gè)命題，直到得到錯(cuò)誤命題。

【詳解】當(dāng)存在時(shí)，由f(x)在x=0處連續(xù)得f(0)= =0；

當(dāng)存在時(shí)，由f(x)在x=0處連續(xù)得2f(0)= =0，即有f(0)=0；

當(dāng)存在時(shí)，f^‘(0)= =存在。

由此可知，選項(xiàng)（a），（b），（c）都應(yīng)排除。

因此本題選（d）。

8.設(shè)直線方程為x=y-1=z，平面方程為x-2y+z=0，則直線與平面（）

（a）重合

（b）平行不重合

（c）垂直相交

（d）相交不垂直

 

【詳解】直線x=y-1=z可等價(jià)變形為：，則可直觀的看出直線的方向向量為s=（1,1,1），過定點(diǎn)（0,1,0），平面x-2y+z=0的法向量為n=（1，-2,1）,則n·s=0，表明平面的法向量與直線的方向向量垂直，從而可知，直線與平面平行，又由于直線過定點(diǎn)（0,1,0）帶入平面方程得知此點(diǎn)不在平面上，從而確定直線與平面平行不重合。

因此本題選（b）

9. 曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸所圍成的面積可表示為（  ）

(a)

(b)

(c)

(d)

【詳解】面積s==

              =+

因此本題選（c）

10. 設(shè)函數(shù)u(x,y)=φ(x+y)+φ(x-y)+,其中函數(shù)φ具有二階導(dǎo)數(shù)，ψ具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有

(a)=-      (b)=

(c)=      (d)=

【分析】直接計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)即可

【詳解】=++- 

=++-                       ①

=-++

=++-                       ②

由①②得  =

因此本題選（b）

【評注】當(dāng)f(x)連續(xù)時(shí)，有=f(x)

這一公式可推廣為

=-

其中，都是可微函數(shù)。

11. 設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則等于（  ）

(a)     (b) 

(c)     (d) 

【分析】由=畫出d的概圖，由此確定正確選項(xiàng)。

【詳解】由f(x,y)連續(xù)知

=，

其中d如右圖所示，由圖可知

=，

即=

因此本題選（c）

【評注】當(dāng)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)時(shí)，要將它的關(guān)于極坐標(biāo)下的二次積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的二次積分，首先要確定于極坐標(biāo)系下二次積分相等的二重積分（實(shí)際上只要確定積分區(qū)域）；要將f(x,y)的關(guān)于直角坐標(biāo)系下的二次積分轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)系下的二次積分，也有同樣的說法。