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1.5 風(fēng)險(xiǎn)管理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)目的

◆掌握絕對收益和百分比收益的計(jì)算方法。

◆掌握預(yù)期收益率的計(jì)算方法，理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差和正態(tài)分布在風(fēng)險(xiǎn)管理中的重要應(yīng)用。

◆理解資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)分散的基本原理。

1.5.1收益的的計(jì)量

1、絕對收益——是對投資成果的直接衡量，反映投資行為得到的增值部分的絕對量。數(shù)學(xué)公式表示為：絕對收益=p-p₀

其中，p為期末的資產(chǎn)價(jià)值總額, p₀為期初投入的資金總額。

2、百分比收益率——是當(dāng)期資產(chǎn)總價(jià)值的變化及其現(xiàn)金收益占期初投資額的百分比。假定期初的投資額為p₀，在期末市資產(chǎn)的投資額為p，d為資產(chǎn)持有期間的現(xiàn)金收益，用數(shù)學(xué)表達(dá)式可表示為：r=（p-p₀ +d）/p₀ ×100%

案例分析：

1、投資者期初每股20元價(jià)格，收購股票100股，半年后每股收到0.3元現(xiàn)金紅利，同時(shí)賣出股票價(jià)格是22元，則在此半年期間，投資者的百分比收益率為：

每股收益：p-p₀ +d=22+0.3-20=2.3元，

百分比收益率：2.3÷20×100%=11.5%

在實(shí)踐中，如果需要不同投資期限金融產(chǎn)品的投資收益率進(jìn)行比較，通常需要計(jì)算這些金融產(chǎn)品的年化收益率，同時(shí)考慮復(fù)利收益。

2、投資者a半年百分比收益率為5%，投資者b一年的百分比收益率為10%，假如每個人期初均投入100元，則比較？

投資者a：總收入為 100×（1+5%）×（1+5%）=110.25，

年化收益率為（110.25-100）÷100=10.25%

投資者b：10%

復(fù)利的頻率越高，則收益率越高。

1.5.2常用的概率統(tǒng)計(jì)知識

1、預(yù)期收益率（會計(jì)算）

預(yù)期收益率和方差計(jì)算

預(yù)期收益率是一種平均水平的概念，但不是簡單的直接平均，而是對未來可能結(jié)果的加權(quán)平均，即每一種結(jié)果的收益率乘以這種結(jié)果出現(xiàn)的可能性。

假定收益率r服從某種概率分布，資產(chǎn)的未來收益率有n種可能取值r₁，r₂，…，r_n，每種收益率對應(yīng)出現(xiàn)概率為p_i，則該資產(chǎn)的預(yù)期收益率e（r）為：

e（r）=p₁r₁+p₂r₂+……+p_nr_n

【例題】假定股票市場一年后可能出現(xiàn)5種情況，每種情況所對應(yīng)的概率和收益率如下表所示：

概率	0.05	0.20	0.15	0.25	0.35
收益率	50%	15%	-10%	-25%	40%

則，一年后投資股票市場的預(yù)期收益率為（d）。

a．18.25% b．27.25%

c．11.25% d．11.75%

解析：0.05×50%+0.20×15%-0.15×10%-0.25×25%+0.35×40%=0.1175，即11.75%。

2、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（掌握涵義、方差與標(biāo)準(zhǔn)差之間計(jì)算）

資產(chǎn)收益率的不確定性就是風(fēng)險(xiǎn)的集中表現(xiàn)，而風(fēng)險(xiǎn)的大小可以由未來收益率與預(yù)期收益率的偏離程度來反映。

假設(shè)資產(chǎn)未來收益率有可能取值r₁，r₂，…，r_n，每種收益率出現(xiàn)概率為p_i，則資產(chǎn)的方差var（r）為：

var（r）=p₁[r₁- e（r）]²+ p₂[r₂- e（r）]²+…+ p_n[r_n- e（r）]²

方差的平方根為標(biāo)準(zhǔn)差。實(shí)踐中，通常將標(biāo)準(zhǔn)差作為刻畫風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo)。

資產(chǎn)收益率標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明資產(chǎn)收益率的波動性越大，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差很小或接近與零時(shí)，資產(chǎn)收益率基本穩(wěn)定在預(yù)期收益水平，出現(xiàn)不確定性的程度逐漸減小。

3、正態(tài)分布（掌握涵義）

正態(tài)分布曲線具有重要性質(zhì)：（掌握，教材26-27頁）

在風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，正態(tài)分布起著特別重要的作用。實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似地服從正態(tài)分布。

【例題】正態(tài)分布的圖形特征是（a）。

a．中間高，兩邊低，左右對稱

b．左高右低

c．右高左低

d．中間低，兩邊高，左右對稱

【例題】正態(tài)隨機(jī)變量x的觀測值落在距均值的距離為2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率約為（b）。

a．68% b．95%

c．32% d．50%

1.5.3投資組合分散風(fēng)險(xiǎn)的原理

1、馬克維茨投資組合理論：相同風(fēng)險(xiǎn)下，收益最大；相同收一下，風(fēng)險(xiǎn)最小。

2、如果資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)存在相關(guān)性，則風(fēng)險(xiǎn)分散的效果會隨各資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)不同而有所不同。（案例分析重點(diǎn)討論相關(guān)系數(shù)分別為+1、0和-1三種情況，教材28頁）

假設(shè)其他條件不變，各個資產(chǎn)之間相關(guān)系數(shù)為正時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)分散效果較差；當(dāng)相關(guān)系數(shù)為負(fù)時(shí)，分散效果較好。

要求：1、掌握如何求組合收益，認(rèn)識資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差

2、經(jīng)過案例討論掌握相關(guān)系數(shù)在+1、0和-1三種情況下的風(fēng)險(xiǎn)分散效果。

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