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第三章測量數(shù)據(jù)處理

重點：

1）測量誤差的處理；

2）測量不確定度的評定與表示以及測量結(jié)果的報告。

難點：

1）減小系統(tǒng)誤差的方法；

2）實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算；

3）異常值的判別和剔除；

4）測量重復(fù)性和測量復(fù)現(xiàn)性的評定；

5）計量器具計量特性的評定；

6) 統(tǒng)計技術(shù)的應(yīng)用，評定測量不確定度的步驟和方法;

7) 數(shù)據(jù)的有效位數(shù)和修約規(guī)定。

第一節(jié)測量誤差的處理

知識點：誤差的一般分類

1. 系統(tǒng)誤差（可定誤差）

系統(tǒng)誤差的特性

重復(fù)出現(xiàn)、恒定不變（一定條件下）、單向性、大小可測出并校正，故有稱為可定誤差。可以用對照試驗、空白試驗、校正儀器等辦法加以校正。

2. 隨機誤差（不可定誤差）

產(chǎn)生原因與系統(tǒng)誤差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。

例如：

測定時環(huán)境的溫度、濕度和氣壓的微小波動，以其性能的微小變化等。

隨機誤差的特性：有時正、有時負(fù)，有時大、有時小，難控制（方向大小不固定，似無規(guī)律）；但在消除系統(tǒng)誤差后，在同樣條件下進行多次測定，則可發(fā)現(xiàn)其分布也是服從一定規(guī)律（統(tǒng)計學(xué)正態(tài)分布），可用統(tǒng)計學(xué)方法來處理

3．一般規(guī)律認(rèn)識

系統(tǒng)誤差——可檢定和校正

隨即誤差——可控制

只有校正了系統(tǒng)誤差和控制了偶然誤差，測定結(jié)果才可靠。

知識點二：系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和減小系統(tǒng)誤差的方法

系統(tǒng)誤差可能由儀器誤差、裝置誤差、人為誤差、外界誤差及方法誤差引起，因此要發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差是哪種誤差引起的不太容易，而要完全消除系統(tǒng)誤差則是更加困難的。

（一）系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

　 (1)在規(guī)定的測量條件下多次測量同一個被測量，從所得測量結(jié)果與計量標(biāo)準(zhǔn)所復(fù)現(xiàn)的量值之差可以發(fā)現(xiàn)并得到恒定的系統(tǒng)誤差的估計值。

　 (2)在測量條件改變時，例如隨時間、溫度、頻率等條件改變時，測量結(jié)果按某一確定的規(guī)律變化，可能是線性地或非線性地增長或減小，就可以發(fā)現(xiàn)測量結(jié)果中存在可變的系統(tǒng)誤差。

(二)減小系統(tǒng)誤差的方法

要完全消除系統(tǒng)誤差比較困難，但降低系統(tǒng)誤差則是可能的。

降低系統(tǒng)誤差的首選方法是用標(biāo)準(zhǔn)件校準(zhǔn)儀器，作出校正曲線；最好是請計量部門或儀器制造廠家校準(zhǔn)儀器；其次是實驗時正確地使用儀器，如調(diào)準(zhǔn)儀器的零點、選擇適當(dāng)?shù)牧砍獭⒄_地進行操作等。

通常，消除或減小系統(tǒng)誤差有以下幾種方法：

1.采用修正的方法

　　對系統(tǒng)誤差的已知部分，用對測量結(jié)果進行修正的方法來減小系統(tǒng)誤差。

例如：

測量結(jié)果為30⁰c，用計量標(biāo)準(zhǔn)測得的結(jié)果是30.1⁰c，則已知系統(tǒng)誤差的估計值為-0.1⁰c，也就是修正值為+0.1⁰c；

依據(jù)：

已修正測量結(jié)果=未修正測量結(jié)果+修正值

已修正測量結(jié)果為=30⁰c +0.1⁰c=30.1⁰c。

2.在實驗過程中盡可能減少或消除一切產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素

　　例如：

在試驗或檢測儀器使用時，如果應(yīng)該對中的未能對中，應(yīng)該調(diào)整到水平、垂直或平行理想狀態(tài)的未能調(diào)好，都會帶來測量的系統(tǒng)誤差，操作者應(yīng)仔細(xì)調(diào)整，以便減小誤差。

又如在對模擬式儀表讀數(shù)時，由于測量人員每個人的習(xí)慣不同會導(dǎo)致讀數(shù)誤差，采用了數(shù)字顯示儀器后就消除了人為讀數(shù)誤差。

3.選擇適當(dāng)?shù)臏y量方法，使系統(tǒng)誤差抵消而不致帶入測量結(jié)果中的誤差符號相反。

試驗和測量中常用的幾種方法：

　　(1)恒定系統(tǒng)誤差消除法

　　①異號法

　　改變測量中的某些條件，例如測量方向、電壓極性等，使兩種條件下的測量結(jié)果中的誤差符號相反，取其平均值以消除系統(tǒng)誤差。

【案例】帶有螺桿式讀數(shù)裝置的測量儀存在空行程，即螺旋旋轉(zhuǎn)時，刻度變化而量桿不動，引起測量的系統(tǒng)誤差。為消除這一系統(tǒng)誤差，可從兩個方向?qū)€。

第一次順時針旋轉(zhuǎn)對準(zhǔn)刻度讀數(shù)為d，設(shè)不含系統(tǒng)誤差的值為a，空行程引起的恒定系統(tǒng)誤差為ε，則d=a+ε；

第二次逆時針旋轉(zhuǎn)對準(zhǔn)刻度讀數(shù)為d′，此時空行程引起的恒定系統(tǒng)誤差為-e，即

d′= a一e。

于是取平均值就可以得到消除了系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果：a=d+d′/2。

②交換法

　　將測量中的某些條件適當(dāng)交換，例如被測物的位置相互交換，設(shè)法使兩次測量中的誤差源對測結(jié)果的作用相反，從而抵消了系統(tǒng)誤差。

例如：

用等臂天平稱重，第一次在右邊秤盤中放置被測物x，在左邊秤盤中放置砝碼p，使天平平衡，這時被測物的質(zhì)量為x=pl_l/l₂，當(dāng)兩臂相等(l_l=l₂)時x=p；如果兩臂存在微小的差異(l_l≠l₂)，而仍以x=p為測量結(jié)果，就會使測量結(jié)果中存在系統(tǒng)誤差。為了抵消這一系統(tǒng)誤差，可以將被測物與砝碼互換位置，此時天平不會平衡，改變砝碼質(zhì)量到p′時天平平衡，則這時被測物的質(zhì)量為x=p′l₂/l₁。所以可以用位置交換前后的兩次測得值的幾何平均值得到消除了系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果

x=（p p′）^1/2

　③替代法

　　保持測量條件不變，用某一已知量值的標(biāo)準(zhǔn)器替代被測件再作測量，使指示儀器的指示不變或指零，這時被測量等于已知的標(biāo)準(zhǔn)量，達(dá)到消除系統(tǒng)誤差的目的。

【案例1】用精密電橋測量某個電阻器時，先將被測電阻器接入電橋的一臂，使電橋平衡；然后用一個標(biāo)準(zhǔn)電阻箱代替被測電阻器接入，調(diào)節(jié)電阻箱的電阻，使電橋再次平衡。則此時標(biāo)準(zhǔn)電阻箱的電阻值就是被測電阻器的電阻值?？梢韵姌蚱渌齻€臂的不理想等因素引入的系統(tǒng)誤差。

【案例2】采用高頻替代法校準(zhǔn)微波衰減器，其測量原理圖如圖3-1所示。

圖3-1高頻替代法校準(zhǔn)微波衰減器測量原理圖

當(dāng)被校衰減器衰減刻度從a_l改變到a₂時，調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)衰減器從a_sl到a_s2，使接收機指示保持不變，則被校衰減器的衰減變化量a_l一a₂=a_x等于標(biāo)準(zhǔn)衰減器的衰減變化量a_s=a_s2一a_sl_，，可以使微波信號源和測量接收機在校準(zhǔn)中不引入系統(tǒng)誤差。

(2)可變系統(tǒng)誤差消除法

　合理地設(shè)計測量順序可以消除測量系統(tǒng)的線性漂移或周期性變化引入的系統(tǒng)誤差。

① 對稱測量法消除線性系統(tǒng)誤差

　【案例1】用電壓表作指示，測量被檢電壓源與標(biāo)準(zhǔn)電壓源的輸出電壓之差，由于電壓表零位存在線性漂移(如圖3-2所示)，會使測量引入可變的系統(tǒng)誤差。

此時可以采用下列測量步驟來消除這種系統(tǒng)誤差：

順序測量4次，在t₁時刻從電壓表上讀得標(biāo)準(zhǔn)電壓源的電壓測量值a，在t₂時刻從電壓表上讀得被檢電壓源的電壓測量值x，在t₃時刻從電壓表上再讀得被檢電壓源的電壓測量值x′，在t₄時刻再讀得標(biāo)準(zhǔn)電壓源的電壓測量值況a′。

圖3-2對稱測量法

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)電壓源和被檢電壓源的電壓分別為vs和vx，系統(tǒng)誤差用ε表示，則

t₁時：a=vs十ε₁，

t₂時：x=vx十ε₂

t₃時：x＇=vx十ε₃

t₄時：a＇=vs十ε₄

測量時只要滿足t₂一t₁= t₄一t₃，當(dāng)線性漂移條件滿足時，則有：ε₂—ε₁=ε₄—ε₃

于是有：

vx—vs =(x+ x＇)/2—(a+ a＇)/2　，

由上式得到的被檢電壓源與標(biāo)準(zhǔn)電壓源的輸出電壓之差測量結(jié)果中消除了由于電壓表線性漂移引入的系統(tǒng)誤差。

　【案例2】用質(zhì)量比較儀作指示儀表，用f₂級標(biāo)準(zhǔn)砝碼替代被校砝碼的方法校準(zhǔn)標(biāo)稱值為10kg的m_l級砝碼，為消除由質(zhì)量比較儀漂移引入的可變系統(tǒng)誤差，砝碼的替代方案采用按“標(biāo)準(zhǔn)～被?！恍！珮?biāo)準(zhǔn)”順序進行。

測量數(shù)據(jù)如下：第一次加標(biāo)準(zhǔn)砝碼時讀數(shù)為m_s1=+0.010g，接著加被校砝碼，讀數(shù)為m_x1=+0.020g；再第二次加被校砝碼，讀數(shù)為m_x2=0.025g，再第二次加標(biāo)準(zhǔn)砝碼，讀數(shù)為m_s2=+0.0l5g。則被校砝碼與標(biāo)準(zhǔn)砝碼的質(zhì)量差

δm由下式計算得到：

δm=( m_x1+ m_x2)/2一(m_s1+ m_s1)/2=(0.045g一0.025g)/2=+0.01g，

由此獲得被校砝碼的修正值為一0.01g。

　②半周期偶數(shù)測量法消除周期性系統(tǒng)誤差

——這種方法廣泛用于測角儀上。

　周期性系統(tǒng)誤差通?？梢员硎緸椋?/span>

ε=asin2πl/t

式中：t——誤差變化的周期；

l——決定周期性系統(tǒng)誤差的自變量(如時間、角度等)。

　　由公式可知，因為相隔t/2半周期的兩個測量結(jié)果中的誤差是大小相等符號相反的。

——所以凡相隔半周期的一對測量值的均值中不再含有此項系統(tǒng)誤差。

(三)修正系統(tǒng)誤差的方法

1.在測量結(jié)果上加修正值

　　——修正值的大小等于系統(tǒng)誤差估計值的大小，但符號相反。

——當(dāng)測量結(jié)果與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值比較時，測量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值的差值為測量結(jié)果系統(tǒng)誤差估計值。

　　　　　　　　δ=—x_s

式中：

δ——測量結(jié)果的系統(tǒng)誤差估計值；

　　——未修正的測量結(jié)果；

x_s——標(biāo)準(zhǔn)值。

注意的是：當(dāng)對測量儀器的示值進行修正時，δ為儀器的示值誤差

　　　　　　　　δ=x—x_s

式中：

x——被評定的儀器的示值或標(biāo)稱值；

　　x_s——標(biāo)準(zhǔn)裝置給出的標(biāo)準(zhǔn)值。

則修正值c為

　　　　　　　　c= －δ　　

已修正的測量結(jié)果x_c為

　　　　　　　　x _c= +c

　【案例】用電阻標(biāo)準(zhǔn)裝置校準(zhǔn)一個標(biāo)稱值為1ω的標(biāo)準(zhǔn)電阻時，標(biāo)準(zhǔn)裝置的讀數(shù)為1.0003ω。問：該被校標(biāo)準(zhǔn)電阻的系統(tǒng)誤差估計值、修正值、已修正的校準(zhǔn)結(jié)果分別為多少?

　　【案例分析】

系統(tǒng)誤差估計值=示值誤差

=1ω－1.0003ω

=－0.0003ω

依據(jù)修正值的大小等于系統(tǒng)誤差估計值的大小，但符號相反，則

示值的修正值= +0.0003ω

　　　　　　　巳修正的校準(zhǔn)結(jié)果=1ω+0.0003ω

=1.0003ω

　　【案例分析】

系統(tǒng)誤差估計值=示值誤差

=1ω－1.0003ω

=－0.0003ω

依據(jù)修正值的大小等于系統(tǒng)誤差估計值的大小，但符號相反，則

示值的修正值= +0.0003ω

　　　　　　　巳修正的校準(zhǔn)結(jié)果=1ω+0.0003ω

=1.0003ω

3.畫修正曲線

　　當(dāng)測量結(jié)果的修正值隨某個影響量的變化而變化，這種影響量例如溫度、頻率、時間、長度等，那么應(yīng)該將在影響量取不同值時的修正值畫出修正曲線，以便在使用時可以查曲線得到所需的修正值。例如電阻的溫度修正曲線的示意圖如圖3-3所示。

實際畫圖時，通常要采用最小二乘法將各數(shù)據(jù)點擬合成最佳曲線或直線。

圖3-3電阻溫度修正曲線

4.制定修正值表

　　當(dāng)測量結(jié)果同時隨幾個影響量的變化而變化時，或者當(dāng)修正數(shù)據(jù)非常多且函數(shù)關(guān)系不清楚等情況下，最方便的方法是將修正值制定成表格，以便在使用時可以查表得到所需的修正值。表格形式舉例如表3-1所示。

　　　　　　　　　　　　　　表3-1電阻的頻率和溫度修正值表ω

溫度/⁰c

頻率/h_z

200

提示注意的是：

　 (1)修正值或修正因子的獲得，最常用的方法是將測量結(jié)果與計量標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)值比較得到，也就是通過校準(zhǔn)得到。修正曲線往往還需要采用實驗方法獲得。

　 (2)修正值和修正因子都是有不確定度的。在獲得修正值或修正因子時，需要評定這些值

的不確定度。

(3)使用已修正測量結(jié)果時，該測量結(jié)果的不確定度中應(yīng)該考慮由于修正不完善引入的不確定度分量。

知識點三：實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計方法

　　——隨機誤差

隨機誤差是指“測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差”。它是在重復(fù)測量中按不可預(yù)見的方式變化的測量誤差的分量。

由于實際工作中不可能測量無窮多次，因此不能得到隨機誤差的值。

隨機誤差的大小程度反映了測量值的分散性，即測量的重復(fù)性。

　——實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差

重復(fù)性是用實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差表征的。

用有限次測量的數(shù)據(jù)得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值稱為實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差，用符號s表示。

實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差是表征測量值分散性的量。

當(dāng)用多次測量的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果時，測量結(jié)果的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差是測量值實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍(n為測量次數(shù))。因此可以說，當(dāng)重復(fù)性較差時可以增加測量次數(shù)取算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，來減小測量的隨機誤差。

(一)幾種常用的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計方法

在相同條件下，對同一被測量x作n次重復(fù)測量，每次測得值為xi，測量次數(shù)為n，則實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差可按以下幾種方法估計。

1. 貝塞爾公式法

——適合于測量次數(shù)較多的情況

從有限次獨立重復(fù)測量的一系列測量值代入式（3—6）得到估計的標(biāo)準(zhǔn)偏差（用樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差s來衡量分析數(shù)據(jù)的分散程度）。

（3—6）

式中（n-1）為自由度，它說明在n次測定中，只有（n—1）個可變偏差，引入（n—1），主要是為了校正以樣本平均值代替總體平均值所引起的誤差。

式中：——n次測量的算術(shù)平均值，

　　　　 vi——第i次測量的測得值；

vi=xi———殘差

v=n—1——自由度

　　 s(x)——(測量值x的)實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差。

【案例】對某被測件的長度重復(fù)測量10次，測量數(shù)據(jù)如下：10.0006m， 10. 0004m，

10.0008m，l0.0002m，10.0003m，l0.0005m，l0.0005m，l0.0007m，l0.0004m，l0.0006m用實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差表征測量的重復(fù)性，請計算實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差。

　　【案例分析】

　　n=10，計算步驟如下：

(1)計算算術(shù)平均值：

=10m+(0.0006+0.0004+0.0008+0.0002+0.0003+0.0005+0.0005+0.0007+0.0004+0.0006)m/10=10.0005m

(2)計算10個殘差：

+0.0001，－0.0001，+0.0003，-0.0003，－0.0002，+0.0000，+0.0000，+0.0002，－0.0001，+0.0001

(3)計算殘差平方和：

(4)計算實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差

所以實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差s(x)=0.00015m=0.0002m(自由度為n－1=9)。

2.極差法

一般在測量次數(shù)較小時采用該法。

從有限次獨立重復(fù)測量的一系列測量值中找出最大值x_max最小值工x_min，得到極差r=x_max—x_min，根據(jù)測量次數(shù)n查表3-3得到c值，代入式(3-8)得到估計的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

s(x)=( x_max—x_min)/c (3-8)

式中：

c——極差系數(shù)。

　極差法的c值列于表3-3。

　　　　　　　　　　　　表3-3極差法的c值表

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20
cn	1.13	1.64	2.06	2.33	2.53	2.70	2.85	2.97	3.08	3.47	3.74

【案例】對某被測件進行了4次測量，測量數(shù)據(jù)為：0.02g，0.05g，0.04g，0.06g。請用極差法估算實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差。

　【案例分析】

　計算步驟如下：

　　(1)計算極差：r=x_max－x_min=0.06g－0.02g=0.04g

　 (2)查表3-3得c值：n=4，c=2.06；

　 (3)計算實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差：s(x)=( x_max—x_min)/c =0.04g/2.06=0.02g。

3.較差法　

——適用于頻率穩(wěn)定度測量或天文觀測等領(lǐng)域。

從有限次獨立重復(fù)測量的一列測量值中，將每次測量值與后一次測量值比較得到差值，代入下值得到估計的標(biāo)準(zhǔn)偏差：

(二)各種估計方法的比較

　　貝塞爾公式法是一種基本的方法，但n很小時其估計的不確定度較大，例如n=9時，由這種方法獲得的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為25%，而n=3時標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度達(dá)50%，因此它適合于測量次數(shù)較多的情況。

　極差法和最大殘差法使用起來比較簡便，但當(dāng)數(shù)據(jù)的概率分布偏離正態(tài)分布較大時，應(yīng)當(dāng)以貝塞爾公式法的結(jié)果為準(zhǔn)。在測量次數(shù)較少時常采用極差法。

較差法更適用于隨機過程的方差分析，如適用于頻率穩(wěn)定度測量或天文觀測等領(lǐng)域。

知識點四：算術(shù)平均值及其實驗標(biāo)準(zhǔn)差的計算

　(一)算術(shù)平均值的計算

　　在相同條件下對被測量x進行有限次重復(fù)測量，得到一系列測量值x₁， x₂， x₃，，，，，x_n，平均值為：

(二)算術(shù)平均值實驗標(biāo)準(zhǔn)差的計算

若測量值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差為 s(x) ，則算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差為

有限次測量的算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差與成反比。測量次數(shù)增加，減小，即算術(shù)平均值的分散性減小。

增加測量次數(shù)，用多次測量的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，可以減小隨機誤差，或者說，減小由于各種隨機影響引入的不確定度。

但隨測量次數(shù)的進一步增加，算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差減小的程度減弱，相反會增加人力、時間和儀器磨損等問題，所以一般取n=3~20。

【案例】某計量人員在建立計量標(biāo)準(zhǔn)時，對計量標(biāo)準(zhǔn)進行過重復(fù)性評定，對被測件重復(fù)測量10次，按貝塞爾公式計算出實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差s(x)=0.08v?，F(xiàn)在，在相同條件下對同一被測件測量4次，取4次測量的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果的最佳估計值，他認(rèn)為算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差為s(x)的1/4，即s(x)=0.08v/4=0.02v。

【案例分析】計量人員應(yīng)搞清楚算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差與測量值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差有

什么關(guān)系?依據(jù)jjf1059——1999《測量不確定度評定與表示》和國家計量技術(shù)法規(guī)統(tǒng)一宣貫教材《測量不確定度理解、評定與應(yīng)用》，案例中的計算是錯誤的。

按貝塞爾公式計算出實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差s（x）=0.08v是測量值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差，它表明測量值的分散性。多次測量取平均可以減小分散性，算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差是測量值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差的。

所以算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)該為：

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