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1.6  線性代數(shù)

知識點一  行列式

行列式是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，是討論矩陣、向量、線性方程組的有力工具，本節(jié)的重點在于了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)，會利用行列式的性質(zhì)和展開定理熟練計算3、4階行列式和簡單高階行列式，不必追求行列式的計算技巧。

1.行列式的概念

 

2.行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1：行列式中行列互換，其值不變。

性質(zhì)2：行列式中兩行（列）對換，其值交號。

性質(zhì)3：行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以將公因子提到行列式外。

性質(zhì)4：行列式中如果有一行（列）每個元素都由兩個數(shù)之和組成，行列式可以拆成兩個行列式的和。

性質(zhì)5：行列式中如果兩行（列）元素對應(yīng)相等，則行列式的值為0。

性質(zhì)6：行列式中如果兩行（列）元素對應(yīng)成比例，則行列式值為0。

性質(zhì)7：行列式中如果有一行（列）元素全為0，則行列式的值為0。

性質(zhì)8：行列式某行（列）元素的k倍加到另一行（列），其值不變。

知識點二  矩陣

矩陣是矩形數(shù)表，除了矩陣加法和數(shù)乘這兩種運算和普通數(shù)的加法和乘法有相同的 運算性質(zhì)外，其他運算如乘法有其獨特的運算性質(zhì)。矩陣沒有除法，方陣有逆矩陣的 概念，要掌握逆矩陣的性質(zhì)，并會用各種方法準(zhǔn)確求出逆矩陣。

矩陣的初等變換是研究矩陣的各種性質(zhì)及應(yīng)用矩陣解決各種問題的有力工具，要學(xué)會正確使用。矩陣的秩 是反映矩陣本質(zhì)的重要概念，不但要學(xué)會求給定矩陣的秩，而且還要會用矩陣的秩來解決一系列問題。

1.矩陣的概念

 

2.矩陣的運算

（1）相等：

（2）零矩陣：所有元素都是0

（3）負矩陣：

（4）數(shù)乘：每個元素均倍乘

（5）加法：對應(yīng)元素相加

（6）減法：對應(yīng)元素相減

（7）矩陣乘法

矩陣加法運算性質(zhì)：

1)交換律a+b=b+a。

2)結(jié)合律a+（b+c）=(a+b )+c。

3)有零矩陣0，對任意矩陣a，a+0 =0+a=a

4)任意矩陣a，都有負矩陣-a，使得 a+(-a) =0

數(shù)乘性質(zhì)

設(shè)k、l是兩個常數(shù)，a、b是同型矩陣，則

1)1a =a,0a =0

2)k(la)=（kl）a

3)k(a+b)=ka +kb

4) (k+l)a= ka +la

矩陣的乘法

乘法性質(zhì)

1)結(jié)合律a(bc)=(ab)c

2)分配律 (a+b)c=ac+bc

         c(a+b)=ca+cb

3)k是常數(shù)，則

   k(ab)=(ka)b =a(kb)

矩陣的轉(zhuǎn)置

3.逆矩陣

定義：設(shè)a是n階方陣，如果存在n階方陣b，使得ab=ba=i成立，則稱a為可逆矩陣，b是a的逆矩陣。

定理：矩陣可逆的充分必要條件是矩陣的行列式不等于0。

4.對角矩陣

5．矩陣的初等變換與初等矩陣

行的初等變換

1)交換第i行和第j行。

2)用一個非零常數(shù)乘矩陣某一行的每個元素。

3)把矩陣某一行的元素的k倍加到另一行。

列的初等變換

1)交換第i列和第j列。

2)用一個非零常數(shù)乘矩陣某一列的每個元素。

3)把矩陣某一列的元素的k倍加到另一列。

初等矩陣

 

 

 

初等矩陣的作用

初等矩陣與初等變換有著密切的關(guān)系：左乘一個初等矩陣相當(dāng)于對矩陣作了一次與初等矩陣相應(yīng)類型一樣的初等行變換；右乘一個初等矩陣相當(dāng)于對矩陣作了一次與初等矩陣相應(yīng)類型一樣的初等列變換。

定義：若矩陣b可以由矩陣a經(jīng)過一系列初等變換得到，則稱矩陣a和b等價。

矩陣的等價是同型矩陣之間的一種關(guān)系，它具有如下性質(zhì)：

1)反身性：任何矩陣和自己等價。

2)對稱性：若矩陣a和矩陣b等價，則矩陣b和矩陣a也等價。

3)傳遞性：若矩陣a和矩陣b等價，矩陣b和矩陣c等價，則矩陣a和矩陣c等價。

矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

任何矩陣都可經(jīng)過初等變換得到以下形式

稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

矩陣的秩

子式：在mxn矩陣a中，任取k行k列，位于這k行k列交叉處的k²個元素按其原來的次序組成一個k階行列式，稱為矩陣a的一個k階子式。

若矩陣a中有一個r階子式不為零，而所有r +1階子式全為零，則稱矩陣a的秩為r，矩陣a的秩記作r(a)。

零矩陣的秩規(guī)定為零。

秩的性質(zhì)

r(a)≥r a中有一個r階子式不為零；

r(a)≤r a中所有r+1階子式全為零。

若n階方陣a，有r(a)=n，則稱a是滿秩方陣。

對于n階方陣a，

 

伴隨矩陣