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2.2  機械波

機械波與機械振動的關聯(lián)

波動是機械振動的傳播過程。介質中的體元（質元）都做振動，這些振動是有一定關聯(lián)的，所有質元的振動就形成了波動。

 

知識點一  機械波的產生與傳播

1. 機械波產生的條件

（1）波源

產生機械振動的振源

（2）彈性介質

傳播機械振動的介質

2. 波的傳播

一點的振動帶動鄰近的點振動，由近及遠傳播出去。

3. 波的分類

橫波：質點的振動方向和波的傳播方向垂直

縱波：質點的振動方向和波的傳播方向平行

4. 波的幾何描述

波陣面：在波動過程中，把振動相位相同的點連成的面(簡稱波面)

波前：在任何時刻，波面有無數(shù)多個，最前方的波面即是波前。波前只有一個

波線：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向

平面波：波面為平面

球面波：波面為球面

柱面波：波面為柱面

知識點二  波長、周期、頻率和波速

(1)波長：在同一條波線上，相位差為2p的質點間距離

(2)周期：傳播一個波長距離所用的時間

(3)頻率：周期的倒數(shù)

注意 : 頻率和周期只決定于波源，和介質種類無關

(4)波速：單位時間內一定的振動狀態(tài)所傳播的距離，用u 表示，是描述振動狀態(tài)在介質中傳播快慢程度的物理量

注：波速 u 與質點的振動速度v 是不同的

波速u ：通常取決于介質的彈性模量和質量密度

固體中的橫波與縱波

橫波波速  g --切變模量

縱波波速  y—楊氏模量

氣體、流體中縱波

b－體變模量

波速 波長 周期 頻率 之間的關系

質點完成1次振動——波向前傳播距離；

1秒內質點振動次——波向前推進個波長—— ；

（重點）

知識點三  平面簡諧波的表達式（波函數(shù)）

平面簡諧波傳播時，介質中各質點都作同一頻率的簡諧波動，在任一時刻，各點的振動相位一般不同，它們的位移也不相同。

 

平面簡諧行波，在無吸收的均勻無限介質中沿x 軸的正方向傳播，波速為u 。取任意一條波線為x 軸，取o 作為x 軸的原點。o點處質點的振動表式為

波向右傳播 → p點振動相位落后于o點，假設振動從o 傳到p所需時間為δt。在t 時刻p點處質點的位移就是o 點處質點在 t – δt 時刻的位移，p點處質點在 t 時刻的位移為：

在t 時刻p點處質點的位移就是o 點處質點在 t – δt 時刻的位移，p點處質點在 t 時刻的位移為：

 

正向傳播的波動表達式

波函數(shù)的意義

（1）x 一定。令x = x₁，則質點位移y僅是時間t 的函數(shù)

（2）t 一定。令t = t₁，則質點位移y僅是時間x的函數(shù)

（3）x,t 都變化。此時波函數(shù)表示波線上不同質點在不同時刻的位移

y為縱坐標，x為橫坐標，在t₁ 時刻得到一條波形曲線（實線），在t₁＋dt 時刻得到另一條波形曲線（虛線）

（4）兩個距離相隔l的質點的振動的相位差df 為2p，任意兩點x₁、x₂的簡諧振動相位差

（5）負方向傳播的波函數(shù)

o 點簡諧運動方程：

p 點的運動方程為：

（重點）

例題：一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數(shù)

求 (1)波的振幅、波長、周期及波速；(2)質點振動的最大速度

解：把波動方程改寫成

與標準波函數(shù)比較

知識點四  波的能量、能流、能流密度

（1）波的能量

介質中的體積dv，其質量為dm (dm = rdv )。當波動傳播到該體積元時，將具有動能de_k和彈性勢能de_p

可以證明：

波的能量和振動能量一定要加以區(qū)別：波傳播過程中任一體積元做的是簡諧振動，但其動能和勢能隨時間同相變化，它們同時達到最大，同時達到最??；諧振系統(tǒng)的動能和勢能相位差 ，（例如單擺）動能達到最大時，勢能最小為零，勢能達到最大時，動能最小為零。

（2）波的能量密度

在波動的介質中每一個體積元都承載著能量，介質中單位體積內所存儲的能量稱為能量密度。

取能量密度在一個周期內的平均值

（3）能流、能流密度

能流 : 在介質中垂直于波速方向取一面積s ，在單位時間內通過s 的能量

平均能流——單位時間內通過某一面積的平均能量，稱為通過該面積的平均能流。也稱為波的功率

平均能流密度——通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均能流稱為平均能流密度，通常稱為能流密度或波的強度

知識點五  惠更斯原理、波的衍射

（1）惠更斯原理

介質中波陣面（波前）上的每個點，都可看成是產生球面子波的波源；在其后的任一時刻，這些子波的包絡面構成新的波陣面。

 

（2）波的衍射

波在傳播過程中，如果遇到障礙物時，波線發(fā)生彎曲并繞過障礙物的現(xiàn)象。

相對于波長而言，障礙物越大，衍射現(xiàn)象越不明顯，障礙物越小，衍射現(xiàn)象越明顯

知識點六  波的疊加原理、波的干涉、駐波

（1）波的疊加原理

有幾列波同時在媒質中傳播時，它們的傳播特性（波長、頻率、波速、波形）不會因其它波的存在而發(fā)生影響。在相遇區(qū)域，合振動是分振動的疊加。

（2）波的干涉

兩列振動方向相同，頻率相同，位相差恒定的波，在同一介質中傳播，在相遇時會出現(xiàn)介質中有些質點的振動始終加強，有些質點的振動始終減弱的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。能產生干涉現(xiàn)象的波稱為相干波，它們的波源稱為相干波源

設s₁,s₂處是兩相干波源，它們的振動表達式分別為

分別在p點引起的振動的方程為

p點合振動的方程為

p點合振動的振幅

 

干涉加強和減弱的條件

a=a₁+ a₂  合成后振幅增大，干涉加強，又叫相長干涉（重點）

                     合成后振幅減小，干涉減弱，又叫相消干涉（重點）

干涉加強和減弱的條件

（3）駐波

兩列振幅相同的相干波,在同一直線上沿相反方向傳播疊加而成的波稱為駐波。它是干涉現(xiàn)象的一種特例

兩列波的波函數(shù)分別可以寫作

合成波

合成波

駐波的特征

 ①駐波的特征是沒有振動狀態(tài)(即位相)的傳播; 波線上各點在振動時,波形駐定不動,因而沒有能量的傳播

②在駐波的表達式中    為駐波的振幅，它隨x變化（重點）

這些點的振幅最大，稱為波腹

波節(jié)與波腹之間的其余各點，以介于0~2a之間的不同振幅，越靠近波節(jié)的質點，振幅越小，越靠近波腹的振幅越大

（3）駐波

駐波的特征（重點）

③相鄰波腹或者相鄰波節(jié)之間的距離為半波長

④從質點振動相位上來看，相鄰兩波節(jié)之間各質點的振動是同位相的，而一個波節(jié)兩側的各質點的振動是反位相的。

 

④在一個波節(jié)兩側的質點同時沿著相反方向到達最大位移，又同時達到平衡位置，但振動速度方向是相反的。

 

④在駐波形成后，能量(動能和勢能)在波節(jié)和波腹之間來回傳遞，無能量的定向傳播

（4）半波損失

波在兩種不同的媒介中傳播時，我們把媒介的密度和波速的乘積 較大的媒介稱為波密媒質，較小的稱為波疏媒質。當波從波疏媒質垂直入射到波密媒質而在界面上反射時，在反射點處，反射波的相位與入射波的相位相反，或者從相位差的角度，有的相位差π。

由于在波的傳播方向相距為半個波長的相位差也是 π ，因而形象的稱反射時的 π相位的突變?yōu)榘氩〒p

固定端反射和自由端反射

當入射波入射至介質1和介質2交界面上的某一固定點，形成駐波的波節(jié)，說明入射波與反射波在該點處相位差為π。反射波在該固定端有半波損失。而當入射波入射至界面上某點時，形成波腹，說明入射波與反射波位相相同，稱為自由端反射。

知識點七  多普勒效應

多普勒效應：當波源s 或觀察者r 相對于介質運動時, 觀察者所接收的頻率 n_r 不等于波源振動頻率 n_s 的現(xiàn)象。

接收的頻率 n_r 與波源振動頻率 n_s 的計算等式。

方向規(guī)定：波源、觀測者的運動發(fā)生在二者連線上。若波源的頻率為ν₀, 波在介質中傳播速度為u,觀測者相對介質運動的速度為v_r (按近波源為正,背離波源為負) ,波源、相對介質的運動速度為v_s (接近觀測者為正,背離觀測者為負) ;觀測者接收到的頻率為ν^’。

知識點八  聲波、超聲波、次聲波

波源在彈性介質中所激起的縱波的頻率,在20hz到20000hz之間,就能引起人的聽覺。在這頻率范圍內的振動稱為聲振動,由聲振動所激起的縱波稱為聲波。頻率高于20000hz的機械波叫做超聲波。頻率低于20hz的機械波叫做次聲波。聲波是機械波，機械波的一般規(guī)律在這里均適用。

聲強與聲強級

聲強是聲波的平均能流密度，即單位時間內，通過垂直于聲波傳播方向的單位面積的聲能量。

通常將i ₀= 10^-12w/m²作為測定聲強的標準，由此可以確定聲音的強度相對值。

聲音強度為i的聲強級定義為 ：

單位為bel（貝爾）。                       

若采用分貝（db），聲強級公式為