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5.5截面的幾何性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn):截面的幾何性質(zhì)

【內(nèi)容提要】本節(jié)主要了解靜矩和形心、極慣性矩和慣性積的概念，熟悉簡(jiǎn)單圖形靜矩、形心、慣性矩和慣性積的計(jì)算，掌握其計(jì)算公式。掌握慣性矩和慣性積平行移軸公式的應(yīng)用，熟練掌握有一對(duì)稱軸的組合截面慣性矩的計(jì)算方法。準(zhǔn)確理解形心主軸和形心主慣性矩的概念，熟悉常見組合截面形心主慣性矩的計(jì)算步驟。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)掌握平行移軸公式的應(yīng)用，形心主軸概念的理解和有一對(duì)稱軸的組合截面慣性矩的計(jì)算步驟和方法

5.5.1靜矩與形心

(一)定義  

設(shè)任意截面如圖1所示，其面積為a，  為截面所在平面內(nèi)的任意直角坐標(biāo)系。c為截面形心，其坐標(biāo)為 yc ，xc  。則

圖1

(二)特征
1．靜矩是對(duì)一定的軸而言的，同一截面對(duì)不同軸的靜矩值不同。靜矩可能為正，可能為負(fù)，也可能為零。
2．靜矩的量綱為長(zhǎng)度的三次方．即  。單位為  或  。 

3．通過截面形心的坐標(biāo)稱為形心軸。截面對(duì)任一形心軸的靜矩為零；反之，若截面對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必通過截面之形心。

4．若截面有對(duì)稱軸，則截面對(duì)于對(duì)稱軸的靜矩必為零，截面的形心一定在該對(duì)稱軸上。

5．組合截面(由若干簡(jiǎn)單截面或標(biāo)準(zhǔn)型材截面所組成)對(duì)某一軸的靜矩，等于其組成部分對(duì)同一軸的靜矩之代數(shù)和(圖2)，即

圖2

5.5.2  慣性矩  慣性積

(一)定義  

設(shè)任意截面如圖3所示，其面積為a，    為截面所在平面內(nèi)任意直角坐標(biāo)系。則

圖3

(二)特征    

1．慣性矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸而言的．慣性積是對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸而言的，同一截面對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其數(shù)值不同。極慣性矩是對(duì)點(diǎn)(稱為極點(diǎn))而言的，同一截面對(duì)不同的點(diǎn)，其值也不相同。慣性矩。極慣性矩恒為正值，而慣性積可能為正，可能為負(fù)，也可能為零。

2．慣性矩、慣性積、極慣性矩的量綱均為長(zhǎng)度的四次方，即。單位為m⁴ 或mm⁴ 

3．對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩恒等于以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任一對(duì)直角坐標(biāo)軸的慣性矩之和。即

4．慣性積是對(duì)某一對(duì)直角坐標(biāo)的．若該對(duì)坐標(biāo)中有一軸為截面的對(duì)稱軸，則截面對(duì)這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積必為零；但截面對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這對(duì)坐標(biāo)中不一定有截面的對(duì)稱軸。  

5．組合截面對(duì)某一軸的慣性矩等于其組成部分對(duì)同一軸的慣性矩之和。即

 

組合截面對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積，等于其組成部分對(duì)同一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積之和，即

 

組合截面對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩，等于其組成部分對(duì)同一點(diǎn)極慣性矩之和，即

三、慣性半徑

(一)定義設(shè)任意截面，其面積為a，則

截面對(duì)z軸的慣件半徑

截面對(duì)y軸的慣性半徑

(二)特征

1．慣性半徑是對(duì)某一定坐標(biāo)軸而言的。

2．慣性半徑恒為正值。

3．慣性半徑的量綱為長(zhǎng)度一次方，即l，單位為m 或mm

四、慣性矩和慣性積的平行移軸公式

分述如下： 截面對(duì)于任一軸的慣性矩．等于對(duì)其平行形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。截面對(duì)于任一直角坐標(biāo)軸的慣性積．等于該截面對(duì)于平行形心坐標(biāo)慣性積加上截面面積與其形心的坐標(biāo)之乘積。 

常用截面幾何性質(zhì)如表下表所示

5.5.3  形心主慣性軸與形心主慣性矩

(二)特征

1．通過截面形心c，至少具有一對(duì)形心主軸

2．若截面只有一根對(duì)稱軸，則該軸即為形心主軸之一，另一形心主軸為通過形心，并與上述對(duì)稱軸垂直的軸。

3．若截面有兩根對(duì)稱軸，則該兩根軸即為形心主軸。
   

 4．若截面有三根(或以上)對(duì)稱軸時(shí)，則通過形心的任一根軸(所有軸)均為形心主軸，且形心主慣矩均相等。

 5．若截面沒有對(duì)稱軸，則可由定性判定法，即根據(jù)繞形心轉(zhuǎn)動(dòng)軸，轉(zhuǎn)至截面積最靠近分布某一軸時(shí)，截面對(duì)該軸的慣性矩最小()，此軸即為形心主軸之一，另一根通過形心與之垂直的軸為另一根慣性矩最大()的形心主軸。

6．形心主慣性矩是截面對(duì)通過同一形心c點(diǎn)，所有軸的慣性矩中的最大值()和最小值()。
截面對(duì)于通過同一形心c點(diǎn)的任意一對(duì)直角坐標(biāo)軸的兩個(gè)慣性矩之和恒為常數(shù)，即 

7．若截面對(duì)通過形心c點(diǎn)的兩主慣性矩相等，則通過形心c點(diǎn)的所有軸均為形心主軸，且所有形心主慣性矩均相等。