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5.11壓桿穩(wěn)定

知識(shí)點(diǎn)一： 壓桿穩(wěn)定的概念（了解）

  在壓力作用下的粗短桿，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限或強(qiáng)度極限時(shí)，將發(fā)生塑性變形或斷裂。這種破壞是由于強(qiáng)度不足而引起的，只要壓桿滿足強(qiáng)度條件，就能保證安全工作。這個(gè)結(jié)論對(duì)粗短桿是正確的，但對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿來(lái)說(shuō)就不適用了。

例如，一根寬3cm，厚5mm，長(zhǎng)30cm的矩形截面的木桿（圖15.1.1），設(shè)其許用應(yīng)力[σ]＝40mpa，按壓縮強(qiáng)度條件計(jì)算，它的承載能力為kn。

   

例如，一根寬3cm，厚5mm，長(zhǎng)30cm的矩形截面的木桿（圖15.1.1），設(shè)其許用應(yīng)力[σ]＝40mpa，按壓縮強(qiáng)度條件計(jì)算，它的承載能力為kn。                                             實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)桿長(zhǎng)為100cm，則只需要30n的壓力，桿就會(huì)變彎；壓力若再增大，桿將產(chǎn)生顯著的彎曲變形而失去工作能力。這說(shuō)明細(xì)長(zhǎng)壓桿喪失工作能力，是由于它不能保持原來(lái)的直線形狀而造成的?？梢姡?xì)長(zhǎng)壓桿的承載能力不取決于它的壓縮強(qiáng)度條件，而取決于它保持直線平衡狀態(tài)的能力。壓桿保持原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為壓桿的穩(wěn)定性；反之，壓桿喪失直線平衡狀態(tài)而被破壞的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定或失穩(wěn)。 　　工程中屬于壓桿穩(wěn)定的例子很多，如：壓縮機(jī)、蒸氣機(jī)與內(nèi)燃機(jī)中的連桿，螺旋千斤頂與車床中的走刀絲桿等。對(duì)這些壓桿，必須保證它們具有足夠的穩(wěn)定性，否則會(huì)造成嚴(yán)重的事故。歷史上就曾因壓桿失穩(wěn)而造成多次橋梁倒塌事故。因此研究壓桿的穩(wěn)定性是非常必要的。

 

圖 壓桿穩(wěn)定的工程實(shí)例

設(shè)圖ａ示細(xì)長(zhǎng)壓桿在力ｐ的作用下處于直線平衡狀態(tài)，受外界（水平力ｑ）干擾后，桿經(jīng)過若干次擺動(dòng)，仍能回到原來(lái)的直線形狀平衡位置（圖ｂ），桿原來(lái)的直線形狀平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡。若受外界干擾后，桿不能恢復(fù)到原來(lái)的直線形狀而在彎曲形狀下保持新的平衡（ｃ），則桿原來(lái)的直線形狀的平衡狀態(tài)稱為非穩(wěn)定平衡。壓桿的穩(wěn)定性問題，就是對(duì)受壓桿件能否保持它原來(lái)的直線形狀的平衡狀態(tài)而言的。

細(xì)長(zhǎng)壓桿的直線平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定，與軸向壓力ｐ的大小有關(guān)。隨著ｐ的逐漸增大，壓桿就會(huì)由穩(wěn)定平衡狀態(tài)過渡到非穩(wěn)定平衡狀態(tài)。這時(shí)，軸向壓力ｐ有個(gè)極限值，稱為臨界壓力，簡(jiǎn)稱為臨界力，用符號(hào)ｐ_lj表示。實(shí)際上，臨界力就是使壓桿喪失穩(wěn)定的最小軸向壓力，掌握臨界力的計(jì)算是解決壓桿穩(wěn)定性的關(guān)鍵。

知識(shí)點(diǎn)二： 臨界力和臨界應(yīng)力（掌握）

一、臨界力

當(dāng)作用在桿上壓力ｐ＝ｐ_lj時(shí)，壓桿喪失穩(wěn)定，由于干擾力的作用壓桿將變彎。在桿的變形不大，桿內(nèi)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，根據(jù)彎曲變形理論可以求出桿的臨界力大小為

　　　　　　　　

上式稱為歐拉公式。μ--與支承情況有關(guān)的長(zhǎng)度系數(shù)，其值它隨著壓桿的約束條件不同而不同； 式表明，壓桿的臨界力ｐ_lj與其抗彎剛度成正比，與桿長(zhǎng)ｌ的平方成反比。也就是說(shuō)，壓桿越細(xì)長(zhǎng)，其臨界力越小，壓桿越容易失穩(wěn)。又由于壓桿總是容易在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)，臨界力ｐ_lj與材質(zhì)的種類、截面的形狀和尺寸、桿件的長(zhǎng)度和兩端的支座情況等方面的因素有關(guān)。

二、臨界應(yīng)力

 將臨界力ｐ_lj除以壓桿的橫截面面積ａ，則得到當(dāng)壓力達(dá)到臨界值時(shí)壓桿橫截面上的應(yīng)力，即臨界應(yīng)力，用表示，即

      　　　　　　 　       　　　　　　

式中，若令，可見ｉ是一個(gè)與截面形狀、尺寸有關(guān)的長(zhǎng)度，稱為截面的慣性半徑。代入上式得

　　　　　　　　　　　　　　　　

若令，則式（15-3）變?yōu)?/span>

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 這就是計(jì)算壓桿臨界應(yīng)力的公式。式中稱為壓桿的長(zhǎng)細(xì)比，又稱為壓桿的柔度，它是一個(gè)無(wú)量綱的量?？梢钥闯觯岫?span lang=en-us>λ越大，桿件越細(xì)長(zhǎng)，而其臨界應(yīng)力越低；也就是說(shuō)，壓桿越細(xì)長(zhǎng)越容易失穩(wěn)。反之，λ越小。則桿件就不太容易失穩(wěn)，其臨界應(yīng)力就比較大。所以柔度λ是壓桿穩(wěn)定計(jì)算中的一個(gè)重要參數(shù)。

三、歐拉公式的應(yīng)用范圍

因?yàn)闅W拉公式是在材料服從虎克定律的條件下導(dǎo)出的，因此歐拉公式只能在壓桿的臨界應(yīng)力σ_lj不超過材料的比例極限σ_p時(shí)才能應(yīng)用。即

由此可求得對(duì)應(yīng)于的柔度值λ_p為

　　　　　　　　　

例如，已知q235的彈性模量與比例極限分別為與，得                  　　　　　　    　　所以，用q235制成的桿件，只有其柔度時(shí)，才能應(yīng)用歐拉公式。

四、經(jīng)驗(yàn)公式

當(dāng)壓桿的柔度，也就是時(shí)，歐拉公式則不再適用，這時(shí)的臨界應(yīng)力值可用經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)確定。經(jīng)驗(yàn)公式有直線公式和拋物線公式等。其中直線公式比較簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便，其形式為

式中，ａ、ｂ是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，其單位為pa或mpa。表15-2給出了幾種材料的ａ、ｂ和λ_p值。

上式也有一個(gè)適用范圍。例如，對(duì)塑性材料制成的壓桿，要求其臨界應(yīng)力不得超過材料的屈服極限σ_s，即

　　若把經(jīng)驗(yàn)公式中的最小柔度極限值表示為λ_s，則

 綜上所述，可以確定公式（15-6）適用的范圍應(yīng)是。由式（15-7）可以求出各種材料的λ_s值。如q235，其mpa，mpa，mpa，將這些值代入式（15-7）中，得。一些常用材料的λ_s值也列于表15－2中。

一般將柔度介于λ_p和λ_s之間的壓桿稱為中柔度桿或中長(zhǎng)桿。柔度小于λ_s的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。

 根據(jù)以上分析，可將各類柔度壓桿臨界應(yīng)力計(jì)算歸納如下：

 

 1、對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，用歐拉公式計(jì)算；

 2、對(duì)于中長(zhǎng)桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算；

 3、對(duì)于短粗桿，用壓縮強(qiáng)度公式計(jì)算。

知識(shí)點(diǎn)三：壓桿的穩(wěn)定性校核與提高壓桿穩(wěn)定性措施（一般考點(diǎn)）

一、壓桿的穩(wěn)定校核

為了保證壓桿正常工作，不發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，必須使壓桿所承受的軸向壓力p小于壓桿的臨界壓力p_lj。為安全起見，還應(yīng)使壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，即要考慮穩(wěn)定的安全系數(shù)。因此，壓桿的穩(wěn)定條件可表示為

式中  ｐ―壓桿的工作壓力；

         [s]―規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)。

考慮到壓桿的初彎曲、壓力的偏心、材料的不均勻性和支座的缺陷等方面的因素，一般[s]規(guī)定得比強(qiáng)度安全系數(shù)要大。在靜載作用下，一般鋼類的[s]=1.8～3.0；鑄鐵的[s]=4.5～5.5；木材的[s]=2.5～3.5。

 在工程計(jì)算中，常把上式改寫成如下形式

                               

　　式中  s－壓桿的工作穩(wěn)定安全系數(shù)。

在機(jī)械設(shè)計(jì)中，壓桿的穩(wěn)定計(jì)算常常是根據(jù)構(gòu)件的工作需要或其它方面的要求，初步?jīng)Q定壓桿的截面尺寸，然后再校核其穩(wěn)定性。壓桿穩(wěn)定校核的具體步驟是：

１．根據(jù)壓桿的支承情況和實(shí)際尺寸計(jì)算出各個(gè)彎曲平面內(nèi)的柔度λ，從而得到最大柔度λ_max；

２．根據(jù)λ_max確定該壓桿的臨界應(yīng)力σ_lj的計(jì)算公式，計(jì)算臨界應(yīng)力和臨界力；

３．根據(jù)壓桿穩(wěn)定條件校核壓桿的穩(wěn)定性。

例15-3：如圖15.3.1是一鋼桿結(jié)構(gòu)托架。已知ab為空心桿，外徑d₁=50mm，內(nèi)徑d₂=40mm。在cd桿的d端掛一重物p=10kn。又知a=1500mm，b=500mm，α=30°。 ab桿是用q235制成，彈性模量e=200gpa，規(guī)定安全系數(shù)=3。cd桿的直徑d=70mm，許用應(yīng)力[σ]=160mpa。試對(duì)各桿進(jìn)行強(qiáng)度核算。

　　　　　

圖15.3.1

 

解：（１）取cd桿作研究對(duì)象，畫受力圖并求力ｎ。

        kn

（２）核算cd桿的強(qiáng)度  cd桿上的力ｎ，其垂直分力使cd桿產(chǎn)生彎曲，水平分力

使cb段產(chǎn)生拉伸，應(yīng)力分別為

彎曲應(yīng)力 

mpa

拉伸應(yīng)力 

 mpa

總的拉應(yīng)力 

 mpa<[σ]

強(qiáng)度足夠。

（３）核算ab桿的強(qiáng)度

①ab桿的受力如圖所示。但該桿是用抗壓強(qiáng)度核算還是檢驗(yàn)其穩(wěn)定性，應(yīng)首先計(jì)算其柔度。

     mm

     m

ab桿兩端為鉸聯(lián)接，故取μ=1，則柔度為

    

因ab桿為細(xì)長(zhǎng)桿，應(yīng)用歐拉公式校核其穩(wěn)定性。

②校核ab桿的穩(wěn)定性

      kn

故ab桿穩(wěn)定。

二、提高壓桿穩(wěn)定性的措施

提高壓桿的穩(wěn)定性，也就是要提高壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力。而影響臨界力的因素，主要有壓桿的材料性能、兩端的約束情況、長(zhǎng)度和截面形狀、尺寸等，所以要想提高壓桿穩(wěn)定性，可從以上方面入手。常用的方法有以下幾種。

１．合理選擇材料

由公式知，臨界力p_lj和臨界應(yīng)力σ_lj與彈性模量ｅ成正比。選用ｅ值較大的材料，可以提高細(xì)長(zhǎng)桿的臨界力。但由于各種鋼的ｅ值差別不大，用高強(qiáng)度鋼對(duì)p_lj的提高不顯著，所以細(xì)長(zhǎng)壓桿用普通鋼制造，既經(jīng)濟(jì)又合理。

對(duì)中長(zhǎng)桿，由經(jīng)驗(yàn)公式可知，系數(shù)ａ是與材料有關(guān)的常數(shù)，所以中長(zhǎng)桿的臨界應(yīng)力σ_lj與材料強(qiáng)度有關(guān)。強(qiáng)度越高的材料，其臨界應(yīng)力越高。因此對(duì)這類壓桿可用高強(qiáng)度鋼制造以提高穩(wěn)定性。

２．減小柔度λ

對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿和中長(zhǎng)桿，由公式可知，柔度越小，臨界應(yīng)力越大，壓桿的穩(wěn)定性越好。為了減小柔度，可采用以下措施：（１）減小壓桿長(zhǎng)度。在結(jié)構(gòu)允許的條件下，盡可能減小桿長(zhǎng)，可明顯提高壓桿的臨界力，增加壓桿的穩(wěn)定性。如結(jié)構(gòu)不允許，也可在壓桿中間增加鉸支座來(lái)達(dá)到目的；（２）加強(qiáng)桿端約束的剛性，以減小μ值；（３）增大慣性半徑ｉ。對(duì)于在兩個(gè)縱向平面內(nèi)桿端約束相同的壓桿，盡量采用圓環(huán)形或空心、正方形截面，使。對(duì)于在兩個(gè)縱向平面內(nèi)桿端約束不同的壓桿，應(yīng)使壓桿橫截面的慣性半徑，而使其柔度，從而達(dá)到在兩個(gè)方向上抵抗失穩(wěn)能力相近的目的。