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1.2  微分學(xué)

1.2.1  函數(shù)極限與連續(xù)

1.函數(shù)

兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它要求一個(gè)變量確定，則另一個(gè)變量唯一確定。

（1）有界性：|f(x)|£m

（2）單調(diào)性：若x<y，必有f(x)<f(y)，則稱f(x)遞增，若f(x)>f(y)，則稱其遞減

（3）奇偶性：若f(-x)=f(x)，則稱偶函數(shù)，若 f(-x)=-f(x)，則稱其為奇函數(shù)

（4）周期性：若存在t，使得f(x+t)=f(x)，則稱其為以t為周期的周期函數(shù)

基本初等函數(shù)

（1）常數(shù)y=c

（2）指數(shù)函數(shù)y=a^x   

（3）冪函數(shù)y=x^a   

（4）對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_a^x  

（5）三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx

     y=secx,y=cscx

（6）反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx

     y=arctanx,y=arccotx

初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或復(fù)合而構(gòu)成的函數(shù)。

2.極限

 

極限存在的兩個(gè)定理及兩個(gè)重要極限

夾逼定理：

單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限

第一個(gè)重要極限

第二個(gè)重要極限 

無(wú)窮小有關(guān)理論

（1）定義：以0為極限的變量

           有限個(gè)無(wú)窮小之和是無(wú)窮小

           有限個(gè)無(wú)窮小之積是無(wú)窮小

           有界變量與無(wú)窮小之積是無(wú)窮小

（2）

     其中 是同過(guò)程下的無(wú)窮小

（3）某一過(guò)程中絕對(duì)值是無(wú)窮大的變量稱為無(wú)窮大

（4）同一過(guò)程下的無(wú)窮大與無(wú)窮小互為倒數(shù)關(guān)系

（1）高階無(wú)窮小

（2）同階無(wú)窮小

（3）等價(jià)無(wú)窮小

（4）求極限時(shí)等價(jià)無(wú)窮小可以相互替換（乘法）

（5）

     

3.連續(xù)

（1）

（2）有界性定理

（3）最值存在定理

（4）零點(diǎn)存在定理

1.2.2 一元函數(shù)微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)

2.導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則

基本求導(dǎo)公式

求導(dǎo)法則

鏈?zhǔn)椒▌t

3.微分dy=y’dx

          

        

                              

            

基本微分公式

運(yùn)算法則

 

微分的一階形式不變性

4.中值定理與泰勒公式

（1）中值定理

羅爾定理：函數(shù)f(x)滿足

1.在[a,b]上連續(xù)；

2.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

3.f(a)=f(b)

則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)c，使f’(c)=0

拉格朗日定理：函數(shù)f(x)滿足

1.在[a,b]上連續(xù)；

2.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)c，使

f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

柯西定理：函數(shù)f(x)，g(x)滿足

1.在[a,b]上連續(xù)；

2.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，g’(x)¹0；

則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)c，使

 

（2）泰勒公式

                                             

                

（3）洛比達(dá)法則

            

    

   

     

5.函數(shù)的極值和最大值與最小值

                               

 

 

6.曲線的凹凸、拐點(diǎn)

典型例題

1.函數(shù)在   b

a.單調(diào)增

b.單調(diào)減

c.有界

d.偶函數(shù)

2.下列極限不正確的是  a

               

              

3.下列哪個(gè)是無(wú)窮小   a

           

       

4.與x等價(jià)的無(wú)窮小是  b

           

               

5.已知，則  b

               

         

6.在x=-1處連續(xù)的函數(shù)是    d

         

                 

7.下列數(shù)列不收斂的是    b

                   

                       

8.設(shè)函數(shù)f(x)在x₀ 處可導(dǎo)，則  d

                  

9.   導(dǎo)數(shù)為1的點(diǎn)  a

           

          

10.已知  ，則   a

       

        

11.設(shè)函數(shù)f(x)可微，則在點(diǎn)x處，當(dāng)時(shí) ,是  a

a.高階無(wú)窮小                b.低階無(wú)窮小

c.等價(jià)無(wú)窮小                d.同階不等價(jià)無(wú)窮小

 

12.  確定y是x的函數(shù)，則在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率是 c

a.3         b.2         c.1         d.0

 

13. f(x)二階可導(dǎo)，且  ，則   d

    

14.設(shè)f(x)是偶數(shù)，若f’(-x₀ )=-k¹0，則f’(x₀ )=   b

a.-k                b.k         c.-1/k      d.1/k

 

15.函數(shù)f(x)在x₀ 處取極大值，則   d

                          

                或?qū)?shù)不存在