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2.2  機(jī)械波

機(jī)械波與機(jī)械振動(dòng)的關(guān)聯(lián)

波動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)的傳播過程。介質(zhì)中的體元（質(zhì)元）都做振動(dòng)，這些振動(dòng)是有一定關(guān)聯(lián)的，所有質(zhì)元的振動(dòng)就形成了波動(dòng)。

 

知識點(diǎn)一  機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播

1. 機(jī)械波產(chǎn)生的條件

（1）波源

產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)的振源

（2）彈性介質(zhì)

傳播機(jī)械振動(dòng)的介質(zhì)

2. 波的傳播

一點(diǎn)的振動(dòng)帶動(dòng)鄰近的點(diǎn)振動(dòng)，由近及遠(yuǎn)傳播出去。

3. 波的分類

橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直

縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行

4. 波的幾何描述

波陣面：在波動(dòng)過程中，把振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面(簡稱波面)

波前：在任何時(shí)刻，波面有無數(shù)多個(gè)，最前方的波面即是波前。波前只有一個(gè)

波線：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向

平面波：波面為平面

球面波：波面為球面

柱面波：波面為柱面

知識點(diǎn)二  波長、周期、頻率和波速

(1)波長：在同一條波線上，相位差為2p的質(zhì)點(diǎn)間距離

(2)周期：傳播一個(gè)波長距離所用的時(shí)間

(3)頻率：周期的倒數(shù)

注意 : 頻率和周期只決定于波源，和介質(zhì)種類無關(guān)

(4)波速：單位時(shí)間內(nèi)一定的振動(dòng)狀態(tài)所傳播的距離，用u 表示，是描述振動(dòng)狀態(tài)在介質(zhì)中傳播快慢程度的物理量

注：波速 u 與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度v 是不同的

波速u ：通常取決于介質(zhì)的彈性模量和質(zhì)量密度

固體中的橫波與縱波

橫波波速  g --切變模量

縱波波速  y—楊氏模量

氣體、流體中縱波

b－體變模量

波速 波長 周期 頻率 之間的關(guān)系

質(zhì)點(diǎn)完成1次振動(dòng)——波向前傳播距離；

1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)次——波向前推進(jìn)個(gè)波長—— ；

（重點(diǎn)）

知識點(diǎn)三  平面簡諧波的表達(dá)式（波函數(shù)）

平面簡諧波傳播時(shí)，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作同一頻率的簡諧波動(dòng)，在任一時(shí)刻，各點(diǎn)的振動(dòng)相位一般不同，它們的位移也不相同。

 

平面簡諧行波，在無吸收的均勻無限介質(zhì)中沿x 軸的正方向傳播，波速為u 。取任意一條波線為x 軸，取o 作為x 軸的原點(diǎn)。o點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表式為

波向右傳播 → p點(diǎn)振動(dòng)相位落后于o點(diǎn)，假設(shè)振動(dòng)從o 傳到p所需時(shí)間為δt。在t 時(shí)刻p點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的位移就是o 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在 t – δt 時(shí)刻的位移，p點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)刻的位移為：

在t 時(shí)刻p點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的位移就是o 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在 t – δt 時(shí)刻的位移，p點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)刻的位移為：

 

正向傳播的波動(dòng)表達(dá)式

波函數(shù)的意義

（1）x 一定。令x = x₁，則質(zhì)點(diǎn)位移y僅是時(shí)間t 的函數(shù)

（2）t 一定。令t = t₁，則質(zhì)點(diǎn)位移y僅是時(shí)間x的函數(shù)

（3）x,t 都變化。此時(shí)波函數(shù)表示波線上不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移

y為縱坐標(biāo)，x為橫坐標(biāo)，在t₁ 時(shí)刻得到一條波形曲線（實(shí)線），在t₁＋dt 時(shí)刻得到另一條波形曲線（虛線）

（4）兩個(gè)距離相隔l的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)的相位差df 為2p，任意兩點(diǎn)x₁、x₂的簡諧振動(dòng)相位差

（5）負(fù)方向傳播的波函數(shù)

o 點(diǎn)簡諧運(yùn)動(dòng)方程：

p 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：

（重點(diǎn)）

例題：一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數(shù)

求 (1)波的振幅、波長、周期及波速；(2)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的最大速度

解：把波動(dòng)方程改寫成

與標(biāo)準(zhǔn)波函數(shù)比較

知識點(diǎn)四  波的能量、能流、能流密度

（1）波的能量

介質(zhì)中的體積dv，其質(zhì)量為dm (dm = rdv )。當(dāng)波動(dòng)傳播到該體積元時(shí)，將具有動(dòng)能de_k和彈性勢能de_p

可以證明：

波的能量和振動(dòng)能量一定要加以區(qū)別：波傳播過程中任一體積元做的是簡諧振動(dòng)，但其動(dòng)能和勢能隨時(shí)間同相變化，它們同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)達(dá)到最??；諧振系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能相位差 ，（例如單擺）動(dòng)能達(dá)到最大時(shí)，勢能最小為零，勢能達(dá)到最大時(shí)，動(dòng)能最小為零。

（2）波的能量密度

在波動(dòng)的介質(zhì)中每一個(gè)體積元都承載著能量，介質(zhì)中單位體積內(nèi)所存儲(chǔ)的能量稱為能量密度。

取能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值

（3）能流、能流密度

能流 : 在介質(zhì)中垂直于波速方向取一面積s ，在單位時(shí)間內(nèi)通過s 的能量

平均能流——單位時(shí)間內(nèi)通過某一面積的平均能量，稱為通過該面積的平均能流。也稱為波的功率

平均能流密度——通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均能流稱為平均能流密度，通常稱為能流密度或波的強(qiáng)度

知識點(diǎn)五  惠更斯原理、波的衍射

（1）惠更斯原理

介質(zhì)中波陣面（波前）上的每個(gè)點(diǎn)，都可看成是產(chǎn)生球面子波的波源；在其后的任一時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)面構(gòu)成新的波陣面。

 

（2）波的衍射

波在傳播過程中，如果遇到障礙物時(shí)，波線發(fā)生彎曲并繞過障礙物的現(xiàn)象。

相對于波長而言，障礙物越大，衍射現(xiàn)象越不明顯，障礙物越小，衍射現(xiàn)象越明顯

知識點(diǎn)六  波的疊加原理、波的干涉、駐波

（1）波的疊加原理

有幾列波同時(shí)在媒質(zhì)中傳播時(shí)，它們的傳播特性（波長、頻率、波速、波形）不會(huì)因其它波的存在而發(fā)生影響。在相遇區(qū)域，合振動(dòng)是分振動(dòng)的疊加。

（2）波的干涉

兩列振動(dòng)方向相同，頻率相同，位相差恒定的波，在同一介質(zhì)中傳播，在相遇時(shí)會(huì)出現(xiàn)介質(zhì)中有些質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng)，有些質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波稱為相干波，它們的波源稱為相干波源

設(shè)s₁,s₂處是兩相干波源，它們的振動(dòng)表達(dá)式分別為

分別在p點(diǎn)引起的振動(dòng)的方程為

p點(diǎn)合振動(dòng)的方程為

p點(diǎn)合振動(dòng)的振幅

 

干涉加強(qiáng)和減弱的條件

a=a₁+ a₂  合成后振幅增大，干涉加強(qiáng)，又叫相長干涉（重點(diǎn)）

                     合成后振幅減小，干涉減弱，又叫相消干涉（重點(diǎn)）

干涉加強(qiáng)和減弱的條件

（3）駐波

兩列振幅相同的相干波,在同一直線上沿相反方向傳播疊加而成的波稱為駐波。它是干涉現(xiàn)象的一種特例

兩列波的波函數(shù)分別可以寫作

合成波

合成波

駐波的特征

 ①駐波的特征是沒有振動(dòng)狀態(tài)(即位相)的傳播; 波線上各點(diǎn)在振動(dòng)時(shí),波形駐定不動(dòng),因而沒有能量的傳播

②在駐波的表達(dá)式中    為駐波的振幅，它隨x變化（重點(diǎn)）

這些點(diǎn)的振幅最大，稱為波腹

波節(jié)與波腹之間的其余各點(diǎn)，以介于0~2a之間的不同振幅，越靠近波節(jié)的質(zhì)點(diǎn)，振幅越小，越靠近波腹的振幅越大

（3）駐波

駐波的特征（重點(diǎn)）

③相鄰波腹或者相鄰波節(jié)之間的距離為半波長

④從質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位上來看，相鄰兩波節(jié)之間各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)是同位相的，而一個(gè)波節(jié)兩側(cè)的各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)是反位相的。

 

④在一個(gè)波節(jié)兩側(cè)的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)沿著相反方向到達(dá)最大位移，又同時(shí)達(dá)到平衡位置，但振動(dòng)速度方向是相反的。

 

④在駐波形成后，能量(動(dòng)能和勢能)在波節(jié)和波腹之間來回傳遞，無能量的定向傳播

（4）半波損失

波在兩種不同的媒介中傳播時(shí)，我們把媒介的密度和波速的乘積 較大的媒介稱為波密媒質(zhì)，較小的稱為波疏媒質(zhì)。當(dāng)波從波疏媒質(zhì)垂直入射到波密媒質(zhì)而在界面上反射時(shí)，在反射點(diǎn)處，反射波的相位與入射波的相位相反，或者從相位差的角度，有的相位差π。

由于在波的傳播方向相距為半個(gè)波長的相位差也是 π ，因而形象的稱反射時(shí)的 π相位的突變?yōu)榘氩〒p

固定端反射和自由端反射

當(dāng)入射波入射至介質(zhì)1和介質(zhì)2交界面上的某一固定點(diǎn)，形成駐波的波節(jié)，說明入射波與反射波在該點(diǎn)處相位差為π。反射波在該固定端有半波損失。而當(dāng)入射波入射至界面上某點(diǎn)時(shí)，形成波腹，說明入射波與反射波位相相同，稱為自由端反射。

知識點(diǎn)七  多普勒效應(yīng)

多普勒效應(yīng)：當(dāng)波源s 或觀察者r 相對于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí), 觀察者所接收的頻率 n_r 不等于波源振動(dòng)頻率 n_s 的現(xiàn)象。

接收的頻率 n_r 與波源振動(dòng)頻率 n_s 的計(jì)算等式。

方向規(guī)定：波源、觀測者的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在二者連線上。若波源的頻率為ν₀, 波在介質(zhì)中傳播速度為u,觀測者相對介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的速度為v_r (按近波源為正,背離波源為負(fù)) ,波源、相對介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度為v_s (接近觀測者為正,背離觀測者為負(fù)) ;觀測者接收到的頻率為ν^’。

知識點(diǎn)八  聲波、超聲波、次聲波

波源在彈性介質(zhì)中所激起的縱波的頻率,在20hz到20000hz之間,就能引起人的聽覺。在這頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)稱為聲振動(dòng),由聲振動(dòng)所激起的縱波稱為聲波。頻率高于20000hz的機(jī)械波叫做超聲波。頻率低于20hz的機(jī)械波叫做次聲波。聲波是機(jī)械波，機(jī)械波的一般規(guī)律在這里均適用。

聲強(qiáng)與聲強(qiáng)級

聲強(qiáng)是聲波的平均能流密度，即單位時(shí)間內(nèi)，通過垂直于聲波傳播方向的單位面積的聲能量。

通常將i ₀= 10^-12w/m²作為測定聲強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)，由此可以確定聲音的強(qiáng)度相對值。

聲音強(qiáng)度為i的聲強(qiáng)級定義為 ：

單位為bel（貝爾）。                       

若采用分貝（db），聲強(qiáng)級公式為