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知識點(diǎn)三  向量

 

向量是特殊的矩陣，故向量的運(yùn)算符合矩陣運(yùn)算性質(zhì)

向量的線性組合與線性表示

線性無關(guān)與線性相關(guān)

 

1)包含零向量的向量組必線性相關(guān)。

2)一個向量組中如果有部分向量線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān)。

3)一個線性無關(guān)的向量組，其中任何部分向量組都線性無關(guān)。

4)一個線性相關(guān)的向量組，如呆每一個向量都刪去同一序號的分量，得到一個維數(shù)較低的向量組，則新的向量組也線性相關(guān)。

5)一個線性無關(guān)的向量組，如果每一個向量在同一位置增加分量，得到維數(shù)更高的向量組，則新向量組也線性無關(guān)。

 

定義：向量組的極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩。

只含零向量的向量組的秩規(guī)定為0。

 

設(shè)a是m×n矩陣，將矩陣的每個行看作行向量，

矩陣的m個行向量構(gòu)成一個向量組，該向量組的秩稱為矩陣的行秩。

將矩陣的每個列看作列向量，矩陣的n個列向量構(gòu)成一個向量組，該向量組的秩稱為矩陣的列秩。

定理：矩陣的行秩=矩陣的列秩=矩陣的秩。

知識點(diǎn)四  線性方程組

1．線性方程組的概念

n元線性方程組

 

 

3．高斯消元法

解方程組的最基本的方法是高斯消元法。設(shè)n元線性方程組

所謂高斯消元法就是對線性方程組的增廣矩陣施行矩陣的初等行變換，化作行階梯形。

 

齊次線性方程組

 

 

(2)齊次線性方程組的解的性質(zhì)與齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

 

 

 

(2)非齊次線性方程組的解的性質(zhì)與非齊次線性方程組的解的構(gòu)造

 

知識點(diǎn)五  矩陣的特征值與特征向量

  

 

 

 

 

方陣的相似是矩陣之間的一種等價關(guān)系，他們有

1)反身性：每個方陣都和自己相似。

2)對稱性：若a和b相似，則b和a也相似。

3)傳遞性：若a和b相似，b和c相似，則a和c也相似。

相似的矩陣還有許多非常有用的性質(zhì)，如相似矩陣有相同的秩，相同的特征多項(xiàng)式，相同的特征值，相同的跡，相同的行列式，等。

3．方陣的相似對角化

定理：n階矩陣a可與對角矩陣相似的充分必要條件是a有n個線性無關(guān)的特征向量。

定理：若n階矩陣a有n個互不相等的特征值，則a必可相似對角化。

 

4．實(shí)對稱矩陣的對角化

定理：實(shí)對稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)。

定理：實(shí)對稱矩陣對應(yīng)不同特征值的特征向量正交。

定理：實(shí)對稱矩陣一定和對角矩陣相似。

實(shí)對稱矩陣的相似對角化有兩種形式。它既可以和對角矩陣相似，也可以和對角矩陣既相似同時還合同。就是說，對于實(shí)對稱矩陣a，總存在可逆矩陣p，使它和對角矩陣d相似：

 

或存在正交矩陣q，使它和對角矩陣 既相似又合同，

 

 

 

知識點(diǎn)六  二次型

3)矩陣表達(dá)式

2．矩陣的合同

合同有以下三個性質(zhì)：

1)自反性：任意方陣a和自身合同。

2)對稱性：若方陣b和a合同，則a和b也合同。

3)專遞性：若方陣b和a合同，方陣c和b合同，則c和a合同。

合同作為n階方陣之間的關(guān)系，是一種等價關(guān)系。

3．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

定義：形如

的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法有正交變換法和配方法。其中正交變換法只能用于實(shí)二次型，不能用于復(fù)二次型。配方法可以用在實(shí)二次型，也可以用在復(fù)二次型。配方法實(shí)際上就是初等代數(shù)里的配平方。

用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的計算步驟：

1)寫出二次型的矩陣a 。

2)求得矩陣a的特征值

3)求相應(yīng)的特征向量。

4)將特征向量作施密特正交化，得到正交的特征向量。

5)將正交的特征向量單位化。

4．實(shí)二次型的慣性定理

定義：形如 

的二次型叫實(shí)二次型的規(guī)范形。

慣性定理：任意一個實(shí)系數(shù)二次型總可經(jīng)過一個適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換，化成規(guī)范形，規(guī)范形是惟一的。其中r是二次型的秩，p是二次型的正慣性指數(shù)，r -p是負(fù)慣性指數(shù)，2p-r是符號差。

在實(shí)二次型中，秩r和正慣性指數(shù)p是兩個重要的不變量。秩r表示二次型通過可逆線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形時非零平方項(xiàng)的個數(shù)，正慣性指數(shù)表示在這些非零平方項(xiàng)中正項(xiàng)的個數(shù)。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的，但是標(biāo)準(zhǔn)形中非零項(xiàng)的個數(shù)以及其中正項(xiàng)的個數(shù)卻是唯一確定的。

5．實(shí)二次型的正定性

 

4)實(shí)對稱陣a正定 a的所有特征值全是正數(shù)

 

則稱i階行列式

為矩陣a的i階順序主子式。

5)實(shí)對稱陣a正定 a的各級順序主子式全大于零。