商店出售商品，總是期望獲得利潤.例如某商品買入價(成本)是50元，以70元賣出，就獲得利潤70-50=20(元).通常，利潤也可以用百分數(shù)來說，20÷50=0.4=40%，我們也可以說獲得 40%的利潤。因此：

　　利潤的百分數(shù)=(賣價-成本)÷成本×100%.

　　賣價=成本×(1+利潤的百分數(shù)).

　　成本=賣價÷(1+利潤的百分數(shù)).

　　商品的定價按照期望的利潤來確定.

　　定價=成本×(1+期望利潤的百分數(shù)).

　　定價高了，商品可能賣不掉，只能降低利潤(甚至虧本)，減價出售.減價有時也按定價的百分數(shù)來算，這就是打折扣.減價 25%，就是按定價的(1-25%)= 75%出售，通常就稱為75折.因此

　　賣價=定價×折扣的百分數(shù).

　　(1+期望利潤的百分數(shù))×折扣=(1+利潤的百分數(shù))

　　【例1】某商品按定價的 80%(八折或 80折)出售，仍能獲得20%的利潤，定價時期望的利潤百分數(shù)是( )

　　A：40% B：60% C：72% D：50%

　　解析：設定價是“1”，賣價是定價的 80%，就是0.8.因為獲得20%的利潤，則成本為2/3。

　　定價的期望利潤的百分數(shù)是 1/3÷2/3=50%

　　答：期望利潤的百分數(shù)是50%.

　　【例2】 某商店進了一批筆記本，按 30%的利潤定價.當售出這批筆記本的 80%后，為了盡早銷完，商店把這批筆記本按定價的一半出售.問銷完后商店實際獲得的利潤百分數(shù)是( )

　　A：12% B:18% C:20% D:17%

　　解：設這批筆記本的成本是“1”.因此定價是1×(1+ 30%)=1.3.其中

　　80%的賣價是 1.3×80%，

　　20%的賣價是 1.3÷2×20%.

　　因此全部賣價是

　　1.3×80% +1.3 ÷ 2×20%= 1.17.

　　實際獲得利潤的百分數(shù)是

　　1.17-1= 0.17=17%.

　　答：這批筆記本商店實際獲得利潤是 17%.

　　【例3 】有一種商品，甲店進貨價(成本)比乙店進貨價便宜 10%.甲店按 20%的利潤來定價，乙店按 15%的利潤來定價，甲店的定價比乙店的定價便宜 11.2元.問甲店的進貨價是( )元?

　　A：110 B：200 C：144 D：160

　　解：設乙店的進貨價是“1”，甲店的進貨價就是0.9.

　　乙店的定價是 1×(1+ 15%)，甲店的定價就是 0.9×(1+20%).

　　因此乙店的進貨價是

　　11.2÷(1.15- 0.9×1.2)=160(元).

　　甲店的進貨價是

　　160× 0.9= 144(元).

　　答：甲店的進貨價是144元.

　　設乙店進貨價是1，比設甲店進貨價是1，計算要方便些。

　　【例4 】開明出版社出版的某種書，今年每冊書的成本比去年增加 10%，但是仍保持原售價，因此每本利潤下降了40%，那么今年這種書的成本在售價中所占的百分數(shù)是多少?

　　A:89% B:88% C:72% D:87.5%

　　解：設去年的利潤是“1”.

　　利潤下降了40%，轉變成去年成本的 10%，因此去年成本是 40%÷10%= 4.

　　在售價中，去年成本占

　　因此今年占 80%×(1+10%)= 88%.

　　答：今年書的成本在售價中占88%.

　　因為是利潤的變化，所以設去年利潤是1，便于衡量，使計算較簡捷.

　　【例5】 一批商品，按期望獲得 50%的利潤來定價.結果只銷掉 70%的商品.為盡早銷掉剩下的商品，商店決定按定價打折扣銷售.這樣所獲得的全部利潤，是原來的期望利潤的82%，問：打了( )折扣?

　　A：6 B：7 C：8 D：9

　　解：設商品的成本是“1”.原來希望獲得利潤0.5.

　　現(xiàn)在出售 70%商品已獲得利潤

　　0.5×70%= 0.35.

　　剩下的 30%商品將要獲得利潤

　　0.5×82%-0.35=0.06.

　　因此這剩下30%商品的售價是

　　1×30%+ 0.06= 0.36.

　　原來定價是 1×30%×(1+50%)=0.45.

　　因此所打的折扣百分數(shù)是

　　0.36÷0.45=80%.

　　答：剩下商品打8折出售.

　　從例1至例5，解題開始都設“1”，這是基本技巧.設什么是“1”，很有講究.希望讀者從中能有所體會.

　　【例6】 某商品按定價出售，每個可以獲得45元錢的利潤.現(xiàn)在按定價打85折出售8個，所能獲得的利潤，與按定價每個減價35元出售12個所能獲得的利潤一樣.問這一商品每個定價是( )元?

　　A：100 B：200 C：300 D：220

　　解：按定價每個可以獲得利潤45元，現(xiàn)每個減價35元出售12個，共可獲得利潤

　　(45-35)×12=120(元).

　　出售8個也能獲得同樣利潤，每個要獲得利潤

　　120÷8=15(元).

　　不打折扣每個可以獲得利潤45元，打85折每個可以獲得利潤15元，因此每個商品的定價是

　　(45-15)÷(1-85%)=200(元).

　　答：每個商品的定價是200元.

　　【例7】 張先生向商店訂購某一商品，共訂購60件，每件定價100元.

　　張先生對商店經(jīng)理說：“如果你肯減價，每件商品每減價1元，我就多訂購3件.”商店經(jīng)理算了一下，如果差價 4%，由于張先生多訂購，仍可獲得原來一樣多的總利潤.問這種商品的成本是( )

　　A：66 B：72 C：76 D：82

　　解：減價4%，按照定價來說，每件商品售價下降了100×4%=4(元).因此張先生要多訂購 4×3=12(件).

　　由于60件每件減價 4元，就少獲得利潤

　　4×60= 240(元).

　　這要由多訂購的12件所獲得的利潤來彌補，因此多訂購的12件，每件要獲得利潤

　　240÷12=20(元).

　　這種商品每件成本是

　　100-4-20=76 (元).

　　答：這種商品每件成本76元.

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　　數(shù)學運算之比例問題專題

　　關鍵提示：

　　比例問題是公務員考試必考題型，也是數(shù)學運算中最重要的題型;

　　解決好比例問題，關鍵要從兩點入手：第一，“和誰比”;第二，“增加或下降多少”。

　　【例1 】 b比a增加了20%，則b是a的多少? a又是b的多少呢?

　　【解析】可根據(jù)方程的思想列式得 a×(1+20%)=b，所以b是a的1.2倍。

　　A/b=1/1.2=5/6，所以a 是b的5/6。

　　【例2】 養(yǎng)魚塘里養(yǎng)了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標記后放回魚塘，數(shù)日后再捕上100尾，發(fā)現(xiàn)有標記的魚為5尾，問魚塘里大約有多少尾魚?

　　A.200 B.4000 C.5000 D.6000 (2004年中央B類真題)

　　解析：方程法：可設魚塘有X尾魚，則可列方程，100/5=X/200，解得X=4000，選擇B。

　　【例3 】 2001年，某公司所銷售的計算機臺數(shù)比上一年度上升了20%，而每臺的價格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計算機銷售額為3000萬元，那么2000年的計算機銷售額大約是多少?

　　A.2900萬元 B.3000萬元 C.3100萬元 D.3300萬元(2003年中央A類真題)

　　【解析】方程法：可設2000年時，銷售的計算機臺數(shù)為X，每臺的價格為Y，顯然由題意可知，2001年的計算機的銷售額=X(1+20%)Y(1-20%)，也即3000萬=0.96XY，顯然XY≈3100。答案為C。

　　特殊方法：對一商品價格而言，如果上漲X后又下降X，求此時的商品價格原價的多少?或者下降X再上漲X，求此時的商品價格原價的多少?只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運用簡化公式，1-X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時則不可運用簡化公式，需要一步一步來。對于此題而言，計算機臺數(shù)比上一年度上升了20%，每臺的價格比上一年度下降了 20%，因為銷售額=銷售臺數(shù)×每臺銷售價格，所以根據(jù)乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的 1-(20%) =0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100。

　　【例4 】 生產(chǎn)出來的一批襯衫中大號和小號各占一半。其中25%是白色的，75%是藍色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號白色襯衫有10件，問小號藍色襯衫有多少件?

　　A.15 B.25 C.35 D.40 (2003年中央A類真題)

　　【解析】這是一道涉及容斥關系(本書后面會有專題講解)的比例問題。

　　根據(jù)已知 大號白=10件，因為大號共50件，所以，大號藍=40件;

　　大號藍=40件，因為藍色共75件，所以，小號藍=35件;

　　此題可以用另一思路進行解析(多進行這樣的思維訓練，有助于提升解題能力)

　　大號白=10件，因為白色共25件，所以，小號白=15件;

　　小號白=15件，因為小號共50件，所以，小號藍=35件;

　　所以，答案為C。

　　【例5】 某企業(yè)發(fā)獎金是根據(jù)利潤提成的，利潤低于或等于10萬元時可提成10%;低于或等于20萬元時，高于10萬元的部分按7.5%提成;高于20萬元時，高于20萬元的部分按5%提成。當利潤為40萬元時，應發(fā)放獎金多少萬元?

　　A.2 B.2.75 C.3 D.4.5 (2003年中央A類真題)

　　【解析】這是一個種需要讀懂內容的題型。根據(jù)要求進行列式即可。

　　獎金應為 10×10%+(20-10)×7.5%+(40-20)×5%=2.75

　　所以，答案為B。

　　【例6】 某校在原有基礎(學生700人，教師300人)上擴大規(guī)模，現(xiàn)新增加教師75人。為使學生和教師比例低于2：1，問學生人數(shù)最多能增加百分之幾?

　　A.7% B.8% C.10.3% D.115% (2003年中央A類真題)

　　【解析】根據(jù)題意，新增加教師75人，則學生最多可達到(300+75)×2=750人，學生人數(shù)增加的比列則為 (750-700)÷700≈7.1%

　　所以，選擇A。

　　【例7】 某企業(yè)去年的銷售收入為1000萬元，成本分生產(chǎn)成本500萬元和廣告費200萬元兩個部分。若年利潤必須按P%納稅，年廣告費超出年銷售收入2%的部分也必須按P%納稅，其它不納稅，且已知該企業(yè)去年共納稅120萬元，則稅率P%為

　　A.40% B.25% C.12% D.10% (2004年江蘇真題)

　　【解析】選用方程法。根據(jù)題意列式如下：

　　(1000-500-200)×P%+(200-1000×2%)×P%=120

　　即 480×P%=120

　　P%=25%

　　所以，答案為B。

　　【例8】 甲、乙兩盒共有棋子108顆，先從甲盒中取出 放人乙盒，再從乙盒取出 放回甲盒，這時兩盒的棋子數(shù)相等，問甲盒原有棋子多少顆?

　　A.40顆 B.48顆

　　C.52顆 D.60顆 (2004年浙江真題)

　　『答案』 B

　　【解析】 此題可用方程法，設甲盒有X顆，乙盒有Y顆，則列方程組如下，參見輔助資料。此題運用直接代入法或逆推法更快捷。

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　　【例 1】甲乙兩名工人8小時共加736個零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，問乙每小時加工多少個零件?

　　A.30個 B.35個 C.40個 D.45個 (2002年A類真題)

　　【解析】選用方程法。設乙每小時加工X個零件，則甲每小時加工1.3X個零件，并可列方程如下：

　　(1+1.3X)×8=736

　　X=40

　　所以，選擇C。

　　【例 2】已知甲的12%為13，乙的13%為14，丙的14%為15，丁的15%為16，則甲、乙、丙、丁4個數(shù)中最大的數(shù)是：

　　A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (2001年中央真題)

　　【解析】顯然甲=13/12%;乙=14/13%;丙=15/14%;丁=16/15%，顯然最大與最小就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%>1，

　　所以，甲>乙>丙>丁，選擇A。

　　【例3】某單位召開一次會議，會期10天。后來由于議程增加，會期延長3天，費用超過了預算，僅食宿費一項就超過預算20%，用了6000元。已知食宿費用預算占總預算的25%，那么，總預算費用是：

　　A.18000元 B.20000元 C.25000元 D.30000元 (2001年中央真題)

　　【解析】設總預算為X，則可列議程為，

　　25%X=6000÷(1+20%)，解得X=20000

　　所以，答案為B。

　　【例4】 一種收錄機，連續(xù)兩次降價10%后的售價是405元，那么原價是：

　　A.490元 B.500元 C.520元 D.560元 (2001年中央真題)

　　【解析】連續(xù)漲(降)價相同幅度的基本公式如下：

　　a =c a表示漲(降)價前的價格;b表示漲(降)價的百分比;c表示漲(降)價后的價格;n連續(xù)漲(降)價的年數(shù)。

　　如果設原價為X，那么由以上公式可列如下方程：

　　X =405，解得X=500

　　所以，答案為B。此題可以選擇代入法快速得到答案。

　　【例5】某企業(yè)1999年產(chǎn)值的20%相當于1998年產(chǎn)值的25%，那么，1999年的產(chǎn)值與1998年相比：

　　A.降低了5% B.提高了5% C.提高了20% D.提高了25%(2001年中央真題)

　　【解析】此題可采用直接作比的方法。設1998年的產(chǎn)值為a，1999年的產(chǎn)值為b，則根據(jù)題意事列方程，a25%=b20%，則1999年的產(chǎn)值與1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的產(chǎn)值比1998年提高了25%。

　　所以，答案為D。

　　【例 6】 某人用4410元買了一臺電腦，其價格是原來定價相繼折扣了10%和2%后的價格，則電腦原來定價是

　　A.4950元 B.4990元 C.5000元 D.5010元 (2000年中央真題)

　　【解析】采用方程法即可，設電腦原來定價是X，則可列方程為

　　X×(1-10%)×(1-2%)=4410，解得X=5000。

　　所以，正確答案為C。

　　注，此題不能用例11的基本公式，因為降價幅度不同。

　　【例7】某機關共有干部、職工350人，其中55歲以上共有70人?，F(xiàn)擬進行機構改革，總體規(guī)模壓縮為180人，并規(guī)定55歲以上的人裁減比例為70%。請問55歲以下的人裁減比例約是多少?

　　A.51% B.43% C.40% D.34% (2000年中央真題)

　　解析：設55歲以下的人裁減比例為X，則可列方程為：

　　70×(1-70%)+(350-70)×(1-X)=180

　　解得X≈43%

　　所以，正確答案為B。

　　【例8】某儲戶于1999年1月1 日存人銀行60000元，年利率為2.00%，存款到期日即2000年1月1 日將存款全部取出，國家規(guī)定凡1999年11月1日后孳生的利息收入應繳納利息稅，稅率為20%，則該儲戶實際提取本金合計為

　　A.61 200元 B.61 160元 C.61 000元 D.60 040元

　　【解析】如不考慮利息稅，則1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息為60000×2%=1200，也即100元/月，但實際上從1999年11月1日后要收20%利息稅，也即只有2個月的利息收入要交稅，稅額=200×20%=40元

　　所以，提取總額為60000+1200-40=61160，正確答案為B。1/1.2=5/6。再比如，一件商品的價格為a元，第一次調價時上漲了50%，第二次調價時又下降了80%，問現(xiàn)在的價格是調價前的多少?(30%)像這樣的反復變化的比例關系并無難點，關鍵是一定要弄清楚和誰比增加或者下降，現(xiàn)在是多少，以上題為例，商品的價格為a元，第一次調價時上漲了50%，則此時商品的價格為1.5a元，第二次調價時又下降了80%，則此時的價格為1.5a×(1-80%)=0.3a元。

　　【例9】 甲、乙、丙三人買書共花費96元錢，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，則甲、乙、丙三人花的錢的比是( )。(2002年B類真題)

　　A.3：5：4 B.4：5：6 C.2：3：4 D.3：4：5

　　【解析】我們通常采用方程法，即設甲的花費為X元，則3X+16+8=96，則X=24，盡而可算出比例關系為3：4：5即為選項D。這里請注意，我們在進行數(shù)學運算的答題時應盡量避免采用方程法，應將這一方程運算過程用習慣性思維替代，具體思維過程如下，用96-16-8=72，所得到就應該是3倍甲的花費，由此得到甲的花費是24元。

　　【例10】 2001年，某公司所銷售的計算機臺數(shù)比上一年度上升了20%，而每臺的價格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計算機銷售額為3000萬元，那么2000年的計算機銷售額大約是多少 ( ) ?

　　A.2900萬元 B.3000萬元 C.3100萬元 D.3300萬元

　　【解析】對一商品價格而言，如果上漲X后又下降X，求此時的商品價格原價的多少?或者下降X再上漲X，求此時的商品價格原價的多少?只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運用簡化公式，1-X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時則不可運用簡化公式，需要一步一步來。對于此題而言，計算機臺數(shù)比上一年度上升了20%，每臺的價格比上一年度下降了 20%，因為銷售額=銷售臺數(shù)×每臺銷售價格，所以根據(jù)乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的 1-(20%) =0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100，所以選擇C。

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