聲波在空氣中的傳播和衰減

1、聲波方程

聲振動必須滿足三個基本的物理定律，即牛頓第一定律、質(zhì)量守恒定律以及描述壓強(qiáng)、溫度、體積等狀態(tài)參數(shù)的狀態(tài)方程。應(yīng)用這三個定律可以推導(dǎo)出聲波傳播中的連續(xù)性方程、運(yùn)動方程和物態(tài)方程，并進(jìn)一步得到波動方程—— 、 和 對時間空間坐標(biāo)的偏微分方程。作如下假設(shè)：①媒質(zhì)為理想流體，即媒質(zhì)中不存在黏滯性，聲波傳播時沒有能量損失;②沒有聲擾動時，媒質(zhì)在宏觀上是靜止的、均勻的，因此媒質(zhì)中靜壓強(qiáng) 、靜態(tài)密度 都是常數(shù);③聲波傳播時，媒質(zhì)中稠密和稀疏的過程是絕熱的;④假設(shè)是小振幅聲波，即滿足：

聲壓 比大氣壓 要小得多，即 ;

質(zhì)點(diǎn)的位移 比波長 要小得多，即 ;

質(zhì)點(diǎn)振動速度 比聲速 要小得多，即 ;

介質(zhì)密度的相對變化要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，即 。

上述假設(shè)稱為理想流體媒質(zhì)小振幅假定。可以分別推導(dǎo)連續(xù)性方程、運(yùn)動方程和物態(tài)方程。

(1)連續(xù)性方程：是物質(zhì)不滅定律在流體運(yùn)動描述中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。對體積元 ，單位時間流入 的質(zhì)量與流出 的質(zhì)量之差等于該體積元內(nèi)質(zhì)量的變化率。由此可得體積元 在x、y、z方向上質(zhì)量的增量。

并由此得到單位時間 內(nèi)總的質(zhì)量增量的矢量形式如下式， 為拉氏算子。

(2)運(yùn)動方程

運(yùn)動方程是聲壓對于距離的梯度等于媒質(zhì)密度和質(zhì)點(diǎn)振動速度乘積的負(fù)值。在聲場中取一體積元 ，當(dāng)有聲波作用于體積元上，各方向的壓強(qiáng)將發(fā)生變化。設(shè)體積元在靜止時的壓強(qiáng)為 ，密度為 ，聲波產(chǎn)生的瞬時聲壓為 ，因體積元足夠小，可認(rèn)為作用在各面的壓力均勻。對 方向，利用簡單力學(xué)分析和牛頓第二定律得：

由于是小振幅聲波，其密度的變化可忽略，即 ，可得聲波在 、 、 三個方向產(chǎn)生的加速度分別為：

式中： ——瞬時聲壓，Pa;

、 、 ——質(zhì)點(diǎn)振動速度 在 、 、 三方向上的分量。

可得到運(yùn)動方程，式中 為拉普拉斯算符。

(3)物態(tài)方程

媒質(zhì)在聲波作用下，引起壓縮、膨脹的交替變化，媒質(zhì)的密度和壓強(qiáng)都發(fā)生了變化，即媒質(zhì)的狀態(tài)發(fā)生了變化。聲波傳播時，理想狀態(tài)下媒質(zhì)的密度發(fā)生變化，而沒有能量的損耗，即為等熵絕熱過程。

物態(tài)方程一般可寫作： 考慮絕熱條件，上式簡化為： 理想狀態(tài)的物態(tài)方程為： (4)波動方程

聯(lián)立理想液體媒質(zhì)中三個基本方程：連續(xù)方程式、運(yùn)動方程式和物態(tài)方程式，可推出理想液體媒質(zhì)中小振幅傳播的 、 、 中任意變量的波動方程，得到以下三式：

聲壓波動方程： 密度波動方程： 振速波動方程： 波動方程分別反映了聲壓、密度、振速隨時空變化的關(guān)系。式中拉普拉斯算子 在直角坐標(biāo)系中展開為：

推導(dǎo)波動方程時，只是從媒質(zhì)的基本特性出發(fā)，利用牛頓第二定律、物質(zhì)守恒定律和絕熱壓縮方程，并未涉及聲源及聲場的具體情況，因此波動方程只反映聲波在媒質(zhì)傳播過程的一般物理特性。

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