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聲波在空氣中的傳播和衰減

1、聲波方程

聲振動必須滿足三個基本的物理定律，即牛頓第一定律、質(zhì)量守恒定律以及描述壓強(qiáng)、溫度、體積等狀態(tài)參數(shù)的狀態(tài)方程。應(yīng)用這三個定律可以推導(dǎo)出聲波傳播中的連續(xù)性方程、運(yùn)動方程和物態(tài)方程，并進(jìn)一步得到波動方程—— 、 和 對時間空間坐標(biāo)的偏微分方程。作如下假設(shè)：①媒質(zhì)為理想流體，即媒質(zhì)中不存在黏滯性，聲波傳播時沒有能量損失;②沒有聲擾動時，媒質(zhì)在宏觀上是靜止的、均勻的，因此媒質(zhì)中靜壓強(qiáng) 、靜態(tài)密度 都是常數(shù);③聲波傳播時，媒質(zhì)中稠密和稀疏的過程是絕熱的;④假設(shè)是小振幅聲波，即滿足：

聲壓 比大氣壓 要小得多，即 ;

質(zhì)點的位移 比波長 要小得多，即 ;

質(zhì)點振動速度 比聲速 要小得多，即 ;

介質(zhì)密度的相對變化要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，即 。

上述假設(shè)稱為理想流體媒質(zhì)小振幅假定?？梢苑謩e推導(dǎo)連續(xù)性方程、運(yùn)動方程和物態(tài)方程。

(1)連續(xù)性方程：是物質(zhì)不滅定律在流體運(yùn)動描述中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。對體積元 ，單位時間流入 的質(zhì)量與流出 的質(zhì)量之差等于該體積元內(nèi)質(zhì)量的變化率。由此可得體積元 在x、y、z方向上質(zhì)量的增量。

并由此得到單位時間 內(nèi)總的質(zhì)量增量的矢量形式如下式， 為拉氏算子。

(2)運(yùn)動方程

運(yùn)動方程是聲壓對于距離的梯度等于媒質(zhì)密度和質(zhì)點振動速度乘積的負(fù)值。在聲場中取一體積元 ，當(dāng)有聲波作用于體積元上，各方向的壓強(qiáng)將發(fā)生變化。設(shè)體積元在靜止時的壓強(qiáng)為 ，密度為 ，聲波產(chǎn)生的瞬時聲壓為 ，因體積元足夠小，可認(rèn)為作用在各面的壓力均勻。對 方向，利用簡單力學(xué)分析和牛頓第二定律得：

由于是小振幅聲波，其密度的變化可忽略，即 ，可得聲波在 、 、 三個方向產(chǎn)生的加速度分別為：

式中： ——瞬時聲壓，Pa;

、 、 ——質(zhì)點振動速度 在 、 、 三方向上的分量。

可得到運(yùn)動方程，式中 為拉普拉斯算符。

(3)物態(tài)方程

媒質(zhì)在聲波作用下，引起壓縮、膨脹的交替變化，媒質(zhì)的密度和壓強(qiáng)都發(fā)生了變化，即媒質(zhì)的狀態(tài)發(fā)生了變化。聲波傳播時，理想狀態(tài)下媒質(zhì)的密度發(fā)生變化，而沒有能量的損耗，即為等熵絕熱過程。

物態(tài)方程一般可寫作： 考慮絕熱條件，上式簡化為： 理想狀態(tài)的物態(tài)方程為： (4)波動方程

聯(lián)立理想液體媒質(zhì)中三個基本方程：連續(xù)方程式、運(yùn)動方程式和物態(tài)方程式，可推出理想液體媒質(zhì)中小振幅傳播的 、 、 中任意變量的波動方程，得到以下三式：

聲壓波動方程： 密度波動方程： 振速波動方程： 波動方程分別反映了聲壓、密度、振速隨時空變化的關(guān)系。式中拉普拉斯算子 在直角坐標(biāo)系中展開為：

推導(dǎo)波動方程時，只是從媒質(zhì)的基本特性出發(fā)，利用牛頓第二定律、物質(zhì)守恒定律和絕熱壓縮方程，并未涉及聲源及聲場的具體情況，因此波動方程只反映聲波在媒質(zhì)傳播過程的一般物理特性。

2、聲波在空氣中的傳播

從理想液體媒質(zhì)中的小振幅聲波波動方程可看出，聲壓是空間和時間的函數(shù)，可以用來描述不同地點在不同時刻的聲壓變化規(guī)律。根據(jù)聲波傳播時波陣面形狀的不同，可將聲波分為平面波、球面波和柱面波。

(1)平面波

當(dāng)聲波的波陣面是垂直于傳播方向的一系列平面時，稱其為平面聲波。

在平面波情況下， 只和 有關(guān)， ，故平面波的波動方程為：

其解為：

式中，符號“+”表示聲波沿 負(fù)方向傳播，符號“—”表示聲波沿正方向傳播，A為聲壓的幅值。

對于沿 正方向傳播的簡諧平面聲波，聲壓的表達(dá)形式為： 式中， ，稱為波數(shù)。可令 。

質(zhì)點的振動速度為： ，式中 稱為質(zhì)點振動的速度振幅。

聲波傳播中一個重要的參數(shù)——聲阻抗率，只與介質(zhì)的密度 和介質(zhì)中的聲速 有關(guān)，而與聲波的頻率、振幅無關(guān)，單位是 。

平面波的特征阻抗為： 平面聲波傳播時具有下述特性：聲壓和質(zhì)點速度同相位;在理想介質(zhì)中聲壓不隨距離變化;介質(zhì)的質(zhì)點速度也不隨距離變化;空氣的特征阻抗是常數(shù);平面波的聲強(qiáng) ;平面波的聲功率 。

(2)球面波

聲波以球面波傳播時， 只和球面坐標(biāo)的 有關(guān)，其波動方程為：

令 代入上式得： 與平面波的波動方程一致，由此得到球面波的解的一般形式為：

式中，前項代表聲波以速度 沿半徑向外發(fā)散的球面波，后項代表向球心會聚的球面波(反射波)，在無限空間條件下不存在反射波。如果振動是簡諧方式的，則上式變?yōu)椋?

根據(jù)運(yùn)動方程得到徑向質(zhì)點振速與聲壓的關(guān)系：

因此球面波的聲阻抗率為： 與平面波不同，輻射球面波時介質(zhì)的聲阻抗率是負(fù)數(shù)，它具有純阻和純抗兩部分，并與半徑 、波長 有關(guān)。因此，聲壓與質(zhì)點不同相。球面波聲阻抗的幅值為 ，它比平面波的聲阻抗率要小。距離聲源大時( )，聲阻抗率接近平面波的特征阻抗。

球面聲波通常具有如下的傳播特性：

①理想介質(zhì)中聲壓與球面波的半徑成反比。

②聲壓與振速間的相位差與 成反比。

③介質(zhì)聲阻抗率為復(fù)數(shù)，當(dāng)球面波半徑很大時純抗分量可以忽略。

④半徑很大時聲強(qiáng) ，聲強(qiáng)與距離平方成反比。

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