隨機(jī)變量與描述性統(tǒng)計(jì)量[了解]:

隨機(jī)性是金融市場(chǎng)的重要特征之一。公司是否對(duì)其發(fā)行的債務(wù)違約，經(jīng)營(yíng)、投資項(xiàng)目的到期收益率，未來(lái)的資產(chǎn)價(jià)格等都是難以預(yù)測(cè)的。研究這些不確定事件的一般方法是將它們與數(shù)值聯(lián)系起來(lái)，然后運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量來(lái)描述它們的特點(diǎn)。

(一)隨機(jī)變量

1.定義

我們將一個(gè)能取得多個(gè)可能值的數(shù)值變量蓋稱為隨機(jī)變量。比如我們規(guī)定對(duì)于某A公司發(fā)行的債券，定義違約變量：

那么Default就是一個(gè)隨機(jī)變量;再比如，A公司發(fā)行的普通股股價(jià)在未來(lái)某一天的收盤價(jià)S可以是5元，可以是10元，也可以是5～10元的任意一個(gè)數(shù)值，于是S同樣是一個(gè)隨機(jī)變量。

如果一個(gè)隨機(jī)變量X最多只能取可數(shù)的不同值，則為離散型隨機(jī)變量;如果X的取值無(wú)法一一列出，可以遍取某個(gè)區(qū)間的任意數(shù)值，則為連續(xù)型隨機(jī)變量。在上面的例子中，Defailt只能取0或1，因而是離散型隨機(jī)變量;而S的取值可能是任意一個(gè)大于0的數(shù)，因而是連續(xù)型隨機(jī)變量。

2.隨機(jī)變量的分布

如X是離散型的，X最多可能取n個(gè)值x1，x2，…，xn，并且記pi=P{X=xi}是X取xi的概率，所有概率的總和

如果X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，由于無(wú)法列出X取每個(gè)特定值的概率，我們改用概率密度函數(shù)來(lái)刻畫X的分布性質(zhì)。概率密度函數(shù)是用來(lái)衡量隨機(jī)變量X取值在特定范圍內(nèi)的函數(shù)，其圖像稱為概率密度函數(shù)曲線。

圖6-6中畫出某連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)曲線，其中的陰影部分面積就是該

變量取值在(0，10)的概率P{O

(二)隨機(jī)變量的數(shù)字特征與描述性統(tǒng)計(jì)量

知道隨機(jī)變量的分布之后，我們需要進(jìn)一步研究分布的特點(diǎn)和規(guī)律，比如取值的平均水平、離散程度等。用來(lái)衡量這些分布特點(diǎn)的數(shù)值統(tǒng)稱為數(shù)字特征，如均值、方差等。在現(xiàn)實(shí)世界里我們面對(duì)的隨機(jī)變量通常是未知分布的，無(wú)法直接求得其數(shù)字特征，因而我們采取抽樣的方法來(lái)估計(jì)它們，即選擇X的一組樣本X1，…，Xn，然后構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)g(X1，…，Xn)來(lái)作為x分布的數(shù)字特征的近似值，這樣的g(X1，…，Xn)便是描述性統(tǒng)計(jì)量。常用的一些數(shù)字特征和它們的描述性統(tǒng)計(jì)量有下面幾種。

1.期望(均值)

隨機(jī)變量X的期望(或稱均值，記做E(X))衡量了x取值的平均水平;它是對(duì)X所有可能取值按照其發(fā)生概率大小加權(quán)后得到的平均值。

2.方差與標(biāo)準(zhǔn)差

很多情況下，我們不僅需要了解數(shù)據(jù)的期望值和平均水平，還要了解這組數(shù)據(jù)分布的離散程度。分布越散，其波動(dòng)性和不可預(yù)測(cè)性也就越強(qiáng)。尤其對(duì)于投資者而言，他們不僅關(guān)心投資的期望收益率，也關(guān)心實(shí)際收益率相對(duì)預(yù)期的收益率可能有多大的偏差，即該投資回報(bào)的風(fēng)險(xiǎn)水平。對(duì)于投資收益率r，我們用方差(o2)或者標(biāo)準(zhǔn)差(o)來(lái)衡量它偏離期望值的程度。

3.分位數(shù)

分位數(shù)通常被用來(lái)研究隨機(jī)變量X以特定概率(或者一組數(shù)據(jù)以特定比例)取得大于等于(或小于等于)某個(gè)值的情況。

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