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統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布

樣本來自總體，因此樣本中包含了有關(guān)總體的豐富信息，但是這些信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來反映總體的特征，我們?nèi)〉脴颖局?，并不是直接利用樣本進(jìn)行推斷，而需要對樣本進(jìn)行一番“加工”和“提煉”，把樣本中所包含的有關(guān)信息盡可能地集中起來，種有效的辦法就是針對不同的問題，構(gòu)造出樣本的某種函數(shù)，這就是統(tǒng)計(jì)量。不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征。

1．統(tǒng)計(jì)量 把不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。一個(gè)統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量。

定義：設(shè)（X1，X2，…，Xn）為取自總體X的一個(gè)樣本，g（X1，X2，…，Xn）為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，如果這個(gè)函數(shù)中不包含任何未知參數(shù)，則稱g（X1，X2，…，Xn）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

例如，設(shè)X~N（m ，s 2），其中m 已知，s 2未知，（X1，X2，…，Xn）為取自X的樣本，則 是統(tǒng)計(jì)量， ­­­不是統(tǒng)計(jì)量。

統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，因而統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。

由統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行推斷，便可獲得對總體的認(rèn)識(shí)，統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心內(nèi)容。

2．抽樣分布 統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。

3．常用統(tǒng)計(jì)量

常用統(tǒng)計(jì)量可分為兩類，一類用來描述樣本的中心位置，另一類用來描述樣本的分散程度。為此先介紹有序樣本的概念，再引入幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量。

有序樣本

設(shè)是從總體X中隨機(jī)抽取的樣本，樣本量為n，將它們的觀測值從小到大排列為：這便是有序樣本。其中 是樣本中的最小觀測值， 是樣本中的最大觀測值。

（1）描述樣本的中心位置的統(tǒng)計(jì)量

總體中每一個(gè)個(gè)體的取值盡管是有差異的，但是總有一個(gè)中心位置，如樣本均值、樣本中位數(shù)等。描述樣本中心位置的統(tǒng)計(jì)量反映了總體的中心位置，常用的有以下幾種：

①樣本均值

樣本觀測值有大有小，樣本均值大致處于樣本的中間位置，它可以反映總體分布的均值。

②樣本中位數(shù)

中位數(shù)有時(shí)也記為Me。

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