1. 比較下列集合的基數(shù)大小并給出證明：A×A，P(A)，2→A，A→2.

解答與評分標準：

|A×A| = |2→A| = |A|2(2 分)，

|P(A)| = |A→2| = 2|A|(2 分)。

分情況討論：

(1) A 為空集：注意A→2={空關(guān)系}，

|A×A| = |2→A| = 0 < |P(A)| = |A→2| = 1。(1 分)

(2) A 為有限集且|A|=1：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = 1 < 2 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(3) A 為有限集且|A|=2：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = 4 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(4) A 為有限集且|A|=3：

|A×A| = |2→A| = |A|2 =9 > 8 = 2|A| = |P(A)| = | A→2| 。(1 分)

(5) A 為有限集且|A|>4：

|A×A| = |2→A| = |A|2 < 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(6) A 為無限集：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = |A| < 2|A|(康托定理)= |P(A)| = | A→2| (1 分)。

注(1)(2)(5)(6)結(jié)果相同，可合并。

2. 在一種計算機信息檢索的模型中，一個文件是由一些關(guān)鍵字組成的，而一個倒排文件是由含有某個關(guān)鍵字的所有文件組成的。一次查詢的輸入是一個關(guān)鍵字，輸出是這　　個關(guān)鍵字的倒排文件，一次查詢的開銷就是包含這個關(guān)鍵字的文件個數(shù)。多次查詢就是查詢一個關(guān)鍵字序列(其中可能有重復(fù)關(guān)鍵字)中的每個關(guān)鍵字，多次查 詢的開銷是 　　各次查詢的開銷之和，其中重復(fù)查詢同一個關(guān)鍵字的開銷之只計算一次。假設(shè)關(guān)鍵字和文件的個數(shù)都是有限的，試用集合論或圖論的術(shù)語來描述這個模型，并給出上述斜體字　　概念的形式化定義。

解答與評分標準：

集合論：

文件集合 D={d1,d2,…,dn}，關(guān)鍵字集合K={k1,k2,…,km}，倒排文件集合

K’={k1’,k2’,…,km’ }與關(guān)鍵字集合K 一一對應(yīng)。D 包含于P(K)，K’包含于

P(D)，ki 屬于dj 當且僅當dj 屬于ki’(4 分)。查詢是從K 到P(D)的函數(shù)

Q：K→P(D)，查詢k 是求Q(k)(2 分)，查詢k 的開銷是|Q(k)|(2 分)。

多次查詢(s1,s2,…,st)就是求(Q(s1),Q(s2),…,Q(st))，多次查詢的開銷是對不

同的si 求|Q(si)|之和(2 分)。

圖論：

二部圖 G=，D 為文件集合，K 為關(guān)鍵字集合，E 為邊集合，(d,k)是E 中的邊當且僅當文件d 含有關(guān)鍵字k(4 分)。文件d 的內(nèi)容就是d的相鄰頂點集合(鄰域)，倒排文　　件k 的內(nèi)容就是k 的鄰域，查詢k 就是求k 的鄰域(2 分)，查詢k 的開銷就是k 的度數(shù)(2 分)。多次查詢就是求一組關(guān)鍵字的鄰域，多次查詢的開銷就是這組關(guān)鍵字頂　　點的度數(shù)之和，重復(fù)關(guān)鍵字只計算一次(2 分)。

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（責任編輯：lqh）

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