一、和定最值

和定最值指的是幾個(gè)數(shù)的和一定，求其中某個(gè)數(shù)的最大值或最小值。解決這類問題我們采用的是極限討論的思想。

【例題】假設(shè)5個(gè)相異的正整數(shù)平均數(shù)是15，中位數(shù)18，則這五個(gè)數(shù)中最大數(shù)的最大值可能為：

A.24 B.32 C.35 D.40

答案：C。解析：5個(gè)數(shù)平均數(shù)是15，則和為75。要使得最大數(shù)取到最大值，而5個(gè)數(shù)的和是一定的，如果其他4個(gè)數(shù)都取最小值，那么最大數(shù)就能取到最大值。中位數(shù)為18，四個(gè)數(shù)分別為1、2、18、19，則最大數(shù)的最大值為75-(1+2+18+19)=35。

極限討論思想就是要使得某個(gè)數(shù)最大，那其他數(shù)就要盡可能小。下面以幾道真題為例進(jìn)行講解：

【例題】100人參加7項(xiàng)活動(dòng)，已知每個(gè)人只參加一項(xiàng)活動(dòng)，而且每項(xiàng)活動(dòng)參加的人數(shù)都不一樣。那么，參加人數(shù)第四多的活動(dòng)最多有幾個(gè)人參加?

A.22 B.21 C.24 D.23

答案：A。解析：要使得參加人數(shù)第四多的活動(dòng)的參加人數(shù)取得最大值，其他6個(gè)活動(dòng)的人數(shù)就要取得最小值，活動(dòng)的參加人數(shù)最小的3項(xiàng)活動(dòng)從小到大依次為1、2、3，則后四項(xiàng)活動(dòng)參加人數(shù)之和為100-(1+2+3)=94，此時(shí)參加人數(shù)第四多的活動(dòng)應(yīng)該是排最后，要使得最小值最大，其他數(shù)就要盡可能小，就要無限和最小值接近。設(shè)參加人數(shù)第四多的活動(dòng)人數(shù)為x，則其他3個(gè)活動(dòng)從小到大分別為x+1，x+2，x+3,則x+x+1+x+2+x+3=94,解得x=22。

二、最不利原則解題

在極值問題中出現(xiàn)“至少……才能保證一定……”這樣的提問時(shí)，我們可以用最不利原則解題?！爸辽佟拍鼙ＷC一定……”考慮的是最壞的情況，如果最壞的情況都可以保證，那么任何一種情況都可以保證。而最壞的情況是讓每一種情況都不能滿足要求，再加一個(gè)就剛好滿足要求，符合題意。

【例1】布袋中有60塊形狀、大小相同的木塊，每6塊編上相同的編號(hào)，那么一次至少取( )塊才能保證其中至少有三塊號(hào)碼相同。

A.18 B.20 C.21 D.19

答案：C。解析：按照題干的方式編號(hào)，總共有10個(gè)號(hào)碼，每個(gè)號(hào)碼有方塊6個(gè)。要滿足相同的號(hào)碼有3個(gè)，先讓每種情況剛好不滿足要求，每個(gè)號(hào)碼先取2塊，取完之后再取1塊，就一定能保證有3塊號(hào)碼是相同的，所以至少要取2×10+1=21。

【例2】有300名求職者參加高端人才招聘會(huì)，其中軟件設(shè)計(jì)類、市場營銷類、財(cái)務(wù)管理類和人力資源管理類分別有100、80、70和50人。問至少有多少人找到工作，才能保證一定有70名找到工作的人專業(yè)相同?

A.71 B.119 C.258 D.277

答案：C。解析：要保證同一個(gè)專業(yè)有70名求職者找到工作，先讓每一個(gè)專業(yè)剛好不滿足要求，軟件設(shè)計(jì)類69人找到工作，市場營銷類69人找到工作，財(cái)務(wù)管理類69人找到工作，人力資源管理類50人全部找到工作也不能滿足要求，如果這個(gè)時(shí)候再有1個(gè)人找到工作就滿足要求了。所以至少有69×3+50+1=258人找到工作，才能保證一定有70名找到工作的人專業(yè)相同。

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（責(zé)任編輯：昆凌）

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