一文搞定函數(shù)的基本問題

還在為函數(shù)的增減性、區(qū)間取值而煩惱嗎?三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等等函數(shù)頭蒙圈了嗎?

一、函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù)和減函數(shù)

一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I：

如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1

如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1f(x2).那么就是f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。

2.單調(diào)區(qū)間

單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值Y，隨自變量X增大而增大(或減小)恒成立。如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)。那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y= f(x)的單調(diào)區(qū)間。

二、三角函數(shù)

1.三角函數(shù)

三角函數(shù)的定義域是研究其他一切性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上就是解最簡單的三角不等式，通?？捎萌呛瘮?shù)的圖像或三角函數(shù)線來求解，注意數(shù)形結合思想的應用,如何運用三角函數(shù)的圖像解決問題能夠幫助對數(shù)形結合思想的掌握。

2.三角函數(shù)誘導公式

公式一： 設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等運用同角三角函數(shù)的基本關系式求值

公式二： 設α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin(π+α)=—sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三： 任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin(-α)=-sinα

3.銳角三角函數(shù)

在△ABC中，∠C為直角，∠A和∠B是銳角

(1)我們把銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA...

三、指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)的定義

指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R).

2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

(1)曲線沿x軸方向向左無限延展〈=〉函數(shù)的定義域為(-∞，+∞)

(2)曲線在x軸上方，而且向左或向右隨著x值的減小或增大無限靠近X軸(x軸是曲線的漸近線)〈=〉函數(shù)的值域為(0，+∞)

四、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.定義

對數(shù)：一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log aN=b,讀作以a為底N的對數(shù)，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

對數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)y=log(a)X，(其中a是常數(shù)，a>0且a不等于1)叫做對數(shù)函數(shù)，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

2.方法點撥

在解決函數(shù)的綜合性問題時，要根據(jù)題目的具體情況把問題分解為若干小問題一次解決，然后再整合解決的結果，這也是分類與整合思想的一個重要方面。

五、冪函數(shù)

1.定義

形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量 冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

2.性質(zhì)

冪函數(shù)不經(jīng)過第三象限,如果該函數(shù)的指數(shù)的分子n是偶數(shù),而分母m是任意整數(shù),則y>0,圖像在第一;二象限.這時(-1)^p的指數(shù)p的奇偶性無關.

如果函數(shù)的指數(shù)的分母m是偶數(shù),而分子n是任意整數(shù),則x>0(或x>=0);y>0(或y>=0),圖像在第一象限.與p的奇偶性關系不大

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